Bài 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác – Luyện tập

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định lý 1

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

* Tam giác ABC nếu AC > AB thì \(\widehat B > \widehat C\)

1.2. Định lý 2

Trong một tam giác cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

* Tam giác ABC nên \(\widehat B > \widehat C\) thì AC > AB

Nhận xét:

Trong \(\Delta ABC\,,\,\,AC > AB \Leftrightarrow \widehat B > \widehat C\)

Trong tam giác tù (hoặc tam giác vuông), góc tù (hoặc góc vuông) là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc vuông) là cạnh lớn nhất.


Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA người ta lấy điểm D nào đó khác điểm B và trên tia đối của tia CA người ta lấy điểm E sao cho CE = BD. Chứng minh rằng BC nhỏ hơn DE.

Giải

Xét \(\Delta ACD.\) Góc DCE là góc ngoài đỉnh C của tam giác ấy, nên ta có:

\(\widehat {DCE} > \widehat {CDA}\)

Hai tam giác BCD và EDC có hai cạnh bằng nhau từng một đôi.

BD = EC (theo giả thiết)

CD là cạnh chung

Hai góc xen giữa hai cạnh ấy không bằng nhau \(\widehat {DCE} > \widehat {CDB}\) nên hai cạnh đối diện với hai góc ấy không bằng nhau.

Ta suy ra: BC < DE.


Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Lấy điểm E trên đoạn BC, lấy điểm F trên đoạn BC kéo dài, điểm D trên AC kéo dài về phía C. Nối AE, AF, BD. Chứng minh:

a. AB < AE

b. AB < AF

c. BD > BC

Giải

a. Ta có

\(\widehat {AEB} > \widehat {ACE}\) (góc ngoài tại E của  \(\Delta AEC\)) mà \(\widehat {ACE} = \widehat {AEB}\)(tam giác ABC cân tại A)

\( \Rightarrow \widehat {AEB} > \widehat {ABE}\)

Trong \(\Delta ABE\) có \(\widehat E > \widehat B\)

\( \Rightarrow AB > AE\)

b. Ta có \(\widehat {ACE} > \widehat {AFC}\)(góc ngoài tại C của \(\Delta ACF\)) mà \(\widehat {ACE} = \widehat {ABE}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\( \Rightarrow \widehat {ABE} > \widehat {AFC}\)

Nên trong \(\Delta ABF\) có \(\widehat B > \widehat F \Rightarrow {\rm{AF > AB}}\)

c. Ta có \(\widehat {DCB} > \widehat {ABC}\) (góc ngoài tại C của \(\Delta ABC\)) mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)

\( \Rightarrow \widehat {DCB} > \widehat {ACB}\) mặt khác \(\widehat {ACB} > \widehat {CDB}\) (góc ngoài tại C của \(\Delta BCD\))

\( \Rightarrow \widehat {DCB} > \widehat {CDB}.\)

Trong \(\Delta BCD\) có \(\widehat {DCB} > \widehat {CDB} \Rightarrow \widehat {BD} > \widehat {BC}\)


Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\) có AC > AB, M là trung điểm của BC. Nối AM. Trên tia đối của MA lấy D sao cho MA = MD. Nối BD. So sánh \(\widehat {BAM}\) và \(\widehat {CAM}\).

Giải

\(\Delta AMC\) và \(\Delta DMB\) có:

AM = DM (gt)

MC = BM (gt)

\(\widehat {AMC} = \widehat {DMB}\) (đối đỉnh)

Nên \(\Delta AMC = \Delta DMB\,\,(c.g.c)\)

Suy ra \(\widehat {CAM} = \widehat {BDM}\) và AC = DB.

Mà AC > AB (gt)

\( \Rightarrow DB > AB\)

Trong \(\Delta ABD\) có \(BD > AB \Rightarrow \widehat {BAM} > \widehat {BDM}\)

Hay \(\widehat {BAM} > \widehat {CAM}\)

Bài tập minh họa


Bài 1: Cho \(\Delta ABC\) có 3 cạnh thoả mãn hệ thức AC > CB > BA. Gọi I là giao điểm của các tia phân giác trong của \(\widehat B\) và \(\widehat A\). Chứng minh IB < IA < IC.

Giải

Ta có AC > CB > BA

\( \Rightarrow \widehat {ABC} > \widehat {BAC} > \widehat {ACB}\)

\(\Delta IBA\) có \(\widehat {ABC} > \widehat {BAC}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {IBA} > \widehat {IAB}\,\,(gt)\\\widehat {IBA} > \widehat {IAB} \Rightarrow IA > IB\,{\,^{(1)}}\end{array}\)

\(\Delta IAC\) có \(\widehat {BAC} > \widehat {ACB} \Rightarrow \widehat {IAC} > \widehat {ICA}\)

\( \Rightarrow IC > IA\,\,{\,^{(2)}}\)

Từ (1) và (2) suy ra IB < IA < IC.


Bài 2: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A (AB < AC).

Tia phân giác của \(\widehat B\) cắt AC tại D, qua C vẽ đường vuông góc với AC cắt tia đối của tia DB tại I. Chứng minh AB < CI; AC < CI.

Giải

Ta có: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (BD là tia phân giác \(\widehat {ABC}\)) mà AB // CI (cùng vuông góc với AC

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{I_1}}\) (so le trong)

\( \Rightarrow \widehat {{B_2}} = \widehat {I\,}.\)

Vậy \(\Delta BCI\) cân tại A có AB < BC.

Vậy AB < CI.

Tương tự ta cũng chứng minh được:

AC < CI (vì \(AC < BC \Rightarrow AC < CI\))


Bài 3: Cho \(\Delta ABC\)(AC > AB), M là trung điểm của BC. Trên AB và AC lấy 2 điểm P và N sao cho BP = CN. Chứng minh: \(\widehat {APN} = \widehat {ANP}\)

Giải

Ta có: AC > AB (gt)

Vì BP = CN

Nên AC – CN > AB – BP.

Hay AN – AP.

Do đó, trong \(\Delta APN\) có AN > AP nên \(\widehat {APN} > \widehat {ANP.}\)