Bài 9: Phép trừ phân số

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Số đối

Hai số gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

Kí hiệu số đối của phân số \(\frac{a}{b}\) là \( – \frac{a}{b}\) ta có:

\(\frac{a}{b} + \left( { – \frac{a}{b}} \right) = 0\)                  \( – \frac{a}{b} = \frac{a}{{ – b}} = \frac{{ – a}}{b}\)

1.2. Phép trừ phân số

Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ

\(\frac{a}{b} – \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + \left( { – \frac{c}{d}} \right)\)

Ví dụ 1: Tính \(\frac{2}{7} – \left( {\frac{{ – 1}}{4}} \right)\)

Giải

\(\frac{2}{7} – \left( {\frac{{ – 1}}{4}} \right) = \frac{2}{7} + \frac{1}{4} = \frac{{8 + 7}}{{28}} = \frac{{15}}{{28}}\)

Nhận xét: Ta có

\(\left( {\frac{a}{b} – \frac{c}{d}} \right) + \frac{c}{d} = \left[ {\frac{a}{b} + \left( { – \frac{c}{d}} \right)} \right] + \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + \left[ {\left( { – \frac{c}{d}} \right) + \frac{c}{d}} \right] = \frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b}\)

Vậy có thể nói hiệu \(\frac{a}{b} – \frac{c}{d}\) là một số mà cộng với \(\frac{c}{d}\) thì được \(\frac{a}{b}\)

Như vậy phép trừ (phân số) là phép toán ngược của phép cộng (phân số).


Ví dụ 2: Thời gian 1 ngày của Cường được phân phối như sau:

– Ngủ \(\frac{1}{3}\) ngày

– Học ở trường: \(\frac{1}{6}\) ngày

– Chơi thể thao: \(\frac{1}{{12}}\) ngày

– Học và làm tập ở nhà: \(\frac{1}{8}\) ngày

– Giúp đỡ gia đình việc vặt: \(\frac{1}{{24}}\) ngày

Hỏi Cường còn bao nhiêu thời gian rỗi?

Giải

Thời gian rỗi của Cường là \(\frac{1}{4}\) ngày


Ví dụ 3:

a. Tính \(1 – \frac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2} – \frac{1}{3},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{3} – \frac{1}{4},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{4} – \frac{1}{5},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{5} – \frac{1}{6}\)

b. Sử dụng kết quả của câu a) để tính nhanh tổng sau:

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}}\)

Giải

a. \(\frac{1}{2},\,\,\frac{1}{6},\,\,\frac{1}{{12}},\,\frac{1}{{20}},\,\,\frac{1}{{30}}\)

b. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} = \left( {1 – \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} – \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{4} – \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} – \frac{1}{6}} \right)\)

\( = 1 + \left( {\frac{{ – 1}}{2} + \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{{ – 1}}{3} + \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{{ – 1}}{4} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{{ – 1}}{5} + \frac{1}{5}} \right) + \frac{{ – 1}}{6} = \frac{5}{6}\)

 

Bài tập minh họa


Bài 1:

a. Chứng tỏ rằng với \(n \in \mathbb{N},n \ne 0\) thì:

\(\frac{1}{{n(n + 1)}} = \frac{1}{n} – \frac{1}{{n + 1}}\)

b. Áp dụng kết quả ở câu a) để tính:

\(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{9.10}}\)

Giải

a. \(\frac{1}{{n(n + 1)}} = \frac{{n + 1 – n}}{{n(n + 1)}} = \frac{{n + 1}}{{n(n + 1)}} – \frac{n}{{n(n + 1)}} = \frac{1}{n} – \frac{1}{{n + 1}}\)

b. \(S = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + … + \frac{1}{9} – \frac{1}{{10}} = 1 – \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}\)


Bài 2: Tính nhanh

\(A = \frac{1}{6} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{56}}\)

Giải

\(A = \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{4.5}} + \frac{1}{{5.6}} + \frac{1}{{6.7}} + \frac{1}{{7.8}}\)

\( = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \frac{1}{4} – \frac{1}{5} + \frac{1}{5} – \frac{1}{6} + \frac{1}{6} – \frac{1}{7} + \frac{1}{7} – \frac{1}{8}\)

\( = \frac{1}{2} – \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\)


Bài 3: Chứng tỏ rằng: \(D = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + …. + \frac{1}{{{{10}^2}}} < 1\)

Giải

\(D = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + …. + \frac{1}{{{{10}^2}}} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{9.10}}\)

\( = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} + … + \frac{1}{9} – \frac{1}{{10}}\)

\( = 1 – \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}} < 1\)