Bài 7: Phép trừ hai số nguyên

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Hiệu của hai số nguyên

Ví dụ 1: Ta có

A = 2 – 6 = 2 + (-6) = – 4

Từ đó ta có quy tắc:

Hiệu của hai số nguyên a và b là tổng của a và số đối của b:

a – b = a + (-b)

Nhận xét: Hiệu của hai số nguyên a và b là một số x mà khi cộng nó với b ta được a. Như vậy, trong Z phép trừ luôn được thực hiện.

1.2. Quy tắc dấu ngoặc

Ví dụ 2: Ta có

a. A = 5 + (2-9) = 5 + |2 +(-9)|=5+(-7)=-2

B = 5 + 2 – 9 = 7 + (-9) = 2.

Nhận thấy:  A = B = 1 \( \Rightarrow \) A = 6 (8-3) = 6 – 8 + 3

Từ đó ta có quy tắc:

* Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “-“ đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc dấu “+” thành dấu “-“ và dấu “-“ thành dấu “+”

* Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

1.3. Quy tắc chuyển vế

Ví dụ 3: Ta có

x + 2 = 8\( \Rightarrow \)x = 8 – 2 = 6

x – 9 = 5 \( \Rightarrow \) x +(-9) = 5\( \Rightarrow \)x =5 – (-9) = 5 + 9 = 14

Từ đó ta có quy tắc:

Khi chuyển vế một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu ”+” thành dấu “-“ và dấu “-“ thành dấu “+”.

1.4. Tổng đại số

Ta có định nghĩa:

Một dãy các phép tính cộng, trừ các số nguyên được gọi là một tổng đại số.

Trong một tổng đại số ta có thể:

* Thay đổi tuỳ ý vị trí các số hạng kèm theo dấu của chúng.

* Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tuỳ ý. Nhưng cần chú ý: nếu trước dấu ngoặc là dấu “-“ thì phải đổi dấu tất cả các số hạng bên trong ngoặc đó.

Ví dụ 4: Tìm x biết:

a. (x – 25) + 18 = 0

b. (-27 – x) – 23 = 0

c. |x- 5| = 4.

Giải

a. Ta có:

(x – 25) +18 = 0 \( \Rightarrow \)x – 25 = -18 \( \Rightarrow \) x = – 18 +25 = 7

b. Ta có:

(-27 – x) – 23 = 0 \( \Rightarrow \) -27 – x = 23

\( \Rightarrow \) -x = 23 + 27 \( \Rightarrow \)-x =50 \( \Rightarrow \)x =- 50.

c. Xét hai trường hợp:

x – 5 = 4 \( \Rightarrow \) x = 4 + 5 \( \Rightarrow \) x = 9

x – 5 = -4 \( \Rightarrow \) x = -4 + 5 \( \Rightarrow \) x = 1

Bài tập minh họa


Bài 1: Tính: S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – ….- 48 + 49 -50.

Giải

Sử dụng tính chất giao hoán và thực hiện nhóm các số hạng, ta có:

S = (1 + 3 + 5 +….+ 49) – (2 + 4 + 6 +….+ 50)

Đặt

\({S_1} = 1{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} +  \ldots . + {\rm{ }}49.\)

\({S_2} = 2{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} +  \ldots . + {\rm{ }}50.\)

Nhận xét rằng cặp hai số đầu và số cuối cũng như từng cặp hai số cách đều số đầu và số cuối đều có tổng bằng nhau và trong tổng:

\({S_1} = 1{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} +  \ldots . + {\rm{ }}49.\)

\({S_2} = 2{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} +  \ldots . + {\rm{ }}50.\)

Có 25 cặp như thế, do đó kết quả là:

\(\begin{array}{l}{S_1} = 25.50 = 1205\\{S_2} = 25.52 = 1300\end{array}\)

Vậy \(S = {S_1} – {S_2} = 1250 – 1300 =  – 50\)


Bài 2: Tính giá trị biểu thức:

A = (a – b + c) – (-c – b + a)

Biết a = -5, b = 2, c = -8

Giải

Ta có:

A = (a – b +c) – (-c – b +a)

= [(-5) – 2 +(-8) ] – [-(-8) – 2 + (-5)]

= (-5 – 2 – 8) – (8 -2 -5) = -15 – 1 = -16.


Bài 3: Chứng minh rằng: a – (b – c) = (a + c) – b

Áp dụng để tính: A = 157 – (130 -43)

Giải

Ta có:

a – (b – c) = a – b + c = (a + c) – b

Áp dụng, ta được

A = 157 – (130 – 43) = (157 + 43) – 130 = 200 – 130 = 70.