Bài 7: Phép cộng phân số

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Quy tắc

– Hai phân số cùng mẫu số: \(\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{{a + b}}{m}\)

– Hai phân số khác mẫu số: Phải quy đồng mẫu chung rồi đưa về trường hợp trên:

\(\frac{a}{m} + \frac{b}{n} = \frac{{an}}{{m.n}} + \frac{{bm}}{{m.n}} = \frac{{a.n + b.m}}{{m.n}}\)

1.2. Tính chất

– Giao hoán: \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}\)

– Kết hợp: \(\left( {\frac{a}{b} + \frac{c}{d}} \right) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \left( {\frac{c}{d} + \frac{e}{f}} \right)\)

– Tổng phân số với số 0: \(\frac{a}{b} + 0 = 0 + \frac{a}{b} = \frac{a}{b}\)


Ví dụ 1:

a) Viết phân số \(\frac{7}{{15}}\) dưới dạng tổng của hai phân số tối giản có mẫu khác nhau.

b) Viết phân số \(\frac{1}{8}\) dưới dạng tổng của hai phân số dương có tử bằng 1 và mẫu khác nhau.

c) Viết các phân số bằng \(\frac{{15}}{{17}}\) có mẫu là số tự nhiên chẵn có hai chữ số.

Giải

a) Vì 7 = 2 + 5 = 3 + 4 = 1 + 6 nên có nhiều cách viết:

\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{15}}\) hoặc \(\frac{1}{5} + \frac{4}{{15}}\) hoặc \(\frac{2}{5} + \frac{1}{{15}}\)

b) \(\frac{1}{8} = \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{24}}\) hoặc \(\frac{1}{8} = \frac{1}{{40}} + \frac{1}{{10}}\)

c) \(\frac{{15}}{{17}} = \frac{{15.2}}{{17.2}} = \frac{{15.4}}{{17.4}}\)

Do đó có hai phân số bằng \(\frac{7}{{15}}\) là \(\frac{{30}}{{34}}\) và \(\frac{{60}}{{68}}\).


Ví dụ 2: Chứng tỏ:

\(\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1002}} + \frac{1}{{1003}} + …. + \frac{1}{{1250}} > \frac{1}{5}\)

Giải

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{1001}} > \frac{1}{{1250}}\\\frac{1}{{1002}} > \frac{1}{{1250}}\\……………\\\frac{1}{{1249}} > \frac{1}{{1250}}\end{array}\)

Vậy \(\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1002}} + \frac{1}{{1003}} + …. + \frac{1}{{1250}} > \frac{1}{{1250}} + \frac{1}{{1250}} + …. + \frac{1}{{1250}} = \frac{{250}}{{1250}} = \frac{1}{5}\)

Do đó: \(\frac{1}{{1001}} + \frac{1}{{1002}} + \frac{1}{{1003}} + …. + \frac{1}{{1250}} > \frac{1}{5}\)


Ví dụ 3: Cho \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \,{\mathbb{N}^*}\) và \(A = \frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}}.\) Chứng tỏ 1 < A < 2.

Giải

Vì \(\frac{a}{{a + b}} > \frac{a}{{a + b + c}};\frac{b}{{b + c}} > \frac{b}{{a + b + c}};\frac{c}{{a + c}} > \frac{c}{{a + b + c}}\)

Vậy \(A > \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + c}} + \frac{c}{{a + b + c}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1 \Rightarrow A > 1\)

Xét \(B = \frac{b}{{a + b}} + \frac{c}{{b + c}} + \frac{a}{{a + c}},\) tương tự trên ta suy ra B > 1.

Ta có \(A{\rm{ }} + {\rm{ }}B{\rm{ }} = \left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{a + b}}} \right) + \left( {\frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{b + c}}} \right) + \left( {\frac{c}{{a + c}} + \frac{a}{{a + c}}} \right) = 3\)

Vì B > 1 nên A < 2. Vậy 1 < A < 2.

Bài tập minh họa


Bài 1: Chứng tỏ:

\(\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{21}} + \frac{1}{{28}} + \frac{1}{{36}} + \frac{1}{{45}} = \frac{3}{{10}}.\)

Giải

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{10}} = \frac{2}{{10}} = 2\left( {\frac{1}{4} – \frac{1}{5}} \right);\\\frac{1}{{15}} = \frac{2}{{30}} = 2\left( {\frac{1}{5} – \frac{1}{6}} \right);\\\frac{1}{{21}} = \frac{2}{{42}} = 2\left( {\frac{1}{6} – \frac{1}{7}} \right).\end{array}\)

Do đó

\(\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{21}} + \frac{1}{{28}} + \frac{1}{{36}} + \frac{1}{{45}} = 2\left( {\frac{1}{4} – \frac{1}{5} + \frac{1}{5} – \frac{1}{6} + \frac{1}{6} – \frac{1}{7} + … + \frac{1}{9} – \frac{1}{{10}}} \right)\)

\( = 2\left( {\frac{1}{4} – \frac{1}{{10}}} \right) = 2\left( {\frac{5}{{20}} – \frac{2}{{20}}} \right) = 2.\frac{3}{{20}} = \frac{3}{{10}}\)


Bài 2: Tính \(A = \frac{{11}}{{1.3}} + \frac{{11}}{{3.5}} + … + \frac{{11}}{{97.99}}\)

Giải

\(A = \frac{{11}}{2}\left( {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + …. + \frac{2}{{97.99}}} \right) = \frac{{11}}{2}\left[ {\left( {\frac{1}{1} – \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} – \frac{1}{5}} \right) + … + \left( {\frac{1}{{91}} – \frac{1}{{99}}} \right)} \right]\)

\(A = \frac{{11}}{2}\left( {1 – \frac{1}{{99}}} \right) = \frac{{11}}{2}.\frac{{98}}{{99}} = \frac{{49}}{9}.\)