Bài 2: Tập hợp các số nguyên

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tập hợp các số nguyên

\(\mathbb{Z} = {\rm{\{ }}\underbrace {…{\rm{; – 3; – 2; – 1;}}}_{nguyen\,\,am}\underbrace {{\rm{0;}}}_{so\,\,0}\underbrace {{\rm{1;2;3;}}…}_{nguyen\,\,duong}{\rm{\} }}\)

-3; -2; -1 là các số nguyên âm

1, 2, 3 là các số nguyên dương (các số tự nhiên khác 0)

Số 0 là số nguyên không dương, không âm.

Trục ngang biểu diễn các số nguyên

-1 và 1 là hai số đối nhau

Tổng quát: a và –a là hai số đối nhau. Hai điểm biểu diễn hai số đối nhau đối xứng nhau qua điểm 0.

Chú ý:

+ \(N \subset \mathbb{Z}\). Đặc biệt \(N = {\mathbb{Z}_ + }\) (các số nguyên dương).

+ Các số \(a \ge 0\) gọi là các số không âm. a > 0 là số dương.

+ Các số \(a \le 0\) gọi là các số không âm. a < 0 là số âm.

Thứ tự trong \(\mathbb{Z}\)

– Mọi số không âm đều lớn hơn mọi số âm.

1 > – 1000; 0 > – 2012

– Số nguyên a bé hơn số nguyên b (a < b) thì điểm biểu diễn số a nhằm bên trái điểm biểu diễn số b trên trục số.

1.2. Giá trị  tuyệt đối của số nguyên

\(\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,neu\,\,A\, \ge 0\\ – A\,neu\,\,A\, < 0\end{array} \right.\)

\(A\,\,neu\,\,A\, \ge 0\) (tức giá trị tuyệt đối của số dương là chính nó)

– A nếu A< 0 (giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó)

Chú ý:  Giá trị tuyệt đối của một số a bao giờ cũng là số không âm.

Viết:

|+3| = -|3| = 3: Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

|x| = -1 vô nghĩa.

\(\left| a \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}4 \Rightarrow a =  \pm 4\) Đặc biệt |0| = 0

1.3. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tìm \(x \in \mathbb{Z}\) sao cho:

a) -4 < x < 2       b) -2 < x <  2      c) |x| < 3

d) -3 < |x| \( \le 4\)   e) |x| > 5.

Giải

a) \(x \in {\rm{\{  – 3; – 2; – 1;0;1\} }}\)

b) \(x \in {\rm{\{ }} – 1;0;1\} \)

c) \(|x|\,\, < \,\,3 \Rightarrow  – 3 < x < 3 \Rightarrow x \in {\rm{\{ }} – 2; – 1;0;1;2\} .\)

d) \( – 3 < \,\,|x|\,\, \le 4\,\, \Rightarrow \,x \in {\rm{\{ }} – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4\} \)

e) \(|x|\,\,\, > 5 \Rightarrow x \in {\rm{\{ }}…{\rm{; – 8; – 7; – 6;6;7;8;}}…{\rm{\} }}\)


Ví dụ 2: Tìm \(x \in \mathbb{Z}\) sao cho:

a) |x| = 9 và x < 0       b) |x| = 5

c) |x| = -12                 d) |x| = |-2012|

Giải

a) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}9 \Rightarrow x =  \pm 9\) kết hợp với x < 9 , ta suy ra x = – 9.

b) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}5 \Rightarrow x =  \pm 5\)

c) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }} – 12 \Rightarrow x = \emptyset \,\,\)vì \(|x|\,\, \ge \,\,0\) với mọi \(x \in \mathbb{Z}\)

d) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| { – 2012} \right| = |2012|\, \Rightarrow x =  \pm 2012.\)


Ví dụ 3: Tính

a) (|-24| : |-8|) – 1

b) (|1440| : |-32|) : |-5|.

Giải

a) |-24| = 24,  |-8| = 8

nên (|-24| : |-8|) – 1 = (24 : 8) – 1 = 3 – 1 = 2.

b) (|1440| : |-32|) : |-5| = (1440 : 32) : 5 = 45 : 5 = 9.

Bài tập minh họa


Bài 1:  Tìm \(x,{\rm{ }}y \in \mathbb{Z}\) sao cho

a) |x| + |y| = 4.

b) \(\left| x \right|{\rm{ }} + {\rm{ }}\left| y \right|\,\,\, \le \,\,2\)

Giải

a) Vì |x| + |y| = 4 \( \Rightarrow \,\,|x|\,\, \le 4;\,\,|y|\,\,\, \le \,\,4.\)

Suy ra \(x \in {\rm{\{ }} – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4{\rm{\} }}\)

và \(y \in {\rm{\{ }} – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4{\rm{\} }}\)

Kết hợp |x| + |y| = 4 ta suy ra các cặp x, y như sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  \pm 4\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 4\\y = 0\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  \pm 2\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 1\\y =  \pm 2\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 1\\y =  \pm 3\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 3\\y =  \pm 1\end{array} \right.\)

b) \(|x|\,\, \le \,\,2;\,|y|\,\, \le \,\,2.\)


Bài 2: Chứng tỏ với mọi \(a \in \mathbb{Z}\), ta luôn có:

a) \(|a| + a \ge 0\)     b) \(|a| – a \ge 0.\)

Giải

a.

Vì \(|a| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,neu\,\,a\, > \,0\\ – a\,\,neu\,\,a\,\, < \,\,0\end{array} \right.\) nên \(|a| =  \pm a.\)

Suy ra \( \pm a + a = \left\{ \begin{array}{l}0\,\,khi\,\,a\,\, < 0\\2a\,\,khi\,\,a \ge 0\end{array} \right.\) tức \(|a|\,\, + \,\,a\,\, \ge 0.\)

b.

\(|a|\,\, – \,\,a\,\, = \left\{ \begin{array}{l}0\,\,khi\,\,a \ge 0\\ – 2a\,\,khi\,\,a\,\, < \,\,0\end{array} \right.\)

Vậy \(|a|\,\, – \,\,a\,\, \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{Z}\).


Bài 3:

a) Tìm x để |x – 1| + 2012 đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Tìm x, y \( \in \mathbb{Z}\)  biết rằng \(|x| + |y|\,\, \le 0\)

Giải

a) Vì \(|x – 1| + 2012 \ge 2012\) nên |x – 1| + 2012 nhỏ nhất là 2012.

Lúc đó x = 1.

b) x, y \( \in \mathbb{Z}\)  thì \(|x|\,\, \in \,\,\mathbb{N},\,|y|\,\, \in \,\,\mathbb{N}\) nên \(|x|\,\, + \,|y|\,\, \ge 0\)

Theo đề bài \(|x|\,\, + \,\,|y|\,\, \le 0\) nên x = 0, y = 0.