Bài 13: Bội và ước của một số nguyên

Tóm tắt lý thuyết

Cho \(a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0:a \vdots b\)

Suy ra:

– a là bội của b

– b là ước của a

Tính chất:

1. \(\left. \begin{array}{l}a \vdots b\\b \vdots c\end{array} \right\} \Rightarrow a \vdots c\)

2. \(\left. \begin{array}{l}a \vdots b\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right\} \Rightarrow a.m \vdots b\)

3. \(\left. \begin{array}{l}a \vdots m\\b \vdots m\end{array} \right\} \Rightarrow (a + b) \vdots m,\,\,(a – b) \vdots m\)


Ví dụ 1:

a) Tìm bốn bội của -3; 3

b) Tìm các bội của -15, biết rằng chúng trong khoảng từ 100 đến 200.

Giải

a) Các bội của -3 và 3 đều có dạng 3k với \(k \in \mathbb{Z}\)

có bốn bội của -3; 3 là -6, -3, -1, 0, 1, 3

b) Trong khoảng từ 100 đến 200 bội của -15 là các số sau 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195.


Ví dụ 2: Cho tập hợp A ={7; 8; 9; 10} và B = {4; 5; 6}.

a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng a + b với \(a \in A,b \in B.\)

b) Tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho 2.

c) Viết tập hợp gồm các phần tử có dạng a.b với \(a \in A,b \in B\) trong tập trên có bao nhiêu phần tử là bội của 5.

Giải

a)

C = {a + b| \(a \in A,b \in B\)}

C = {11, 12, 13, 14, 15, 16}

b) Có ba số chia hết cho 2 là 12, 14, 16

c) T = {28, 35, 42, 32, 40, 48, 36, 45, 54, 50, 60}

Trong tập hợp T có các phần tử là bội của 5 là: 35, 40, 45, 50, 60.


Ví dụ 3: Chứng minh rằng \(S = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + {2^5} + {2^6} + {2^7} + {2^8} + {2^9}\) là bội của (-41).

Giải

\(S = (2 + {2^2} + {2^3}) + {2^3}(2 + {2^2} + {2^3}) + {2^6}(2 + {2^2} + {2^3})\)

\(S = 41(2 + {2^2} + {2^3}) \Rightarrow S \vdots ( – 41)\)

 Vậy S là bội của -41

 

Bài tập minh họa


Bài 1: Tìm \(a \in \mathbb{Z}\) sao cho

a) 2a – 7 chia hết cho a – 1

b) a + 2 là ước của \({a^2} + 2\)

Giải

a)

2a – 7 = 2(a – 1)- 5

Nếu \((2a{\rm{ }}-{\rm{ }}7) \vdots a – 1\) thì \(5\,\,\, \vdots \,\,\,a – 1\)

\(\begin{array}{l}a – 1 =  \pm 1,a – 1 =  \pm 5\\a = 0,a = 2,a = 6,a =  – 4\end{array}\)

Vậy \(a \in {\rm{\{ }}0,2,6, – 4\} \)

b) \({a^2} + 2 = a(a + 2) – 2(a + 2) + 6 \Rightarrow {a^2} + 2\,\, \vdots \,\,(a + 2)\, \Rightarrow 6\,\, \vdots \,\,a + 2\)

\(a + 2 =  \pm 1,\,\,\,a + 2 =  \pm 2,\,\,\,a + 2 =  \pm 3,\,\,a + 2 =  \pm 6\)

Vậy \(a \in {\rm{\{ }} – 8, – 5, – 4, – 3, – 1,\,\,0,\,\,1,\,\,4\} \)


Bài 2: Tìm \(a,b \in \mathbb{Z}\) sao cho (a – 3) b – a = 5.

Giải

\((a – 3)b – a = 5 \Rightarrow b = \frac{{a + 5}}{{a – 3}}\)

Để \(b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a + 5\,\,\, \vdots \,\,a – 3\,\, \Rightarrow (a + 5) = {\rm{[}}(a – 3)\,\, + \,\,8]\,\, \vdots \,\,(a – 3)\)

\( \Rightarrow 8\,\, \vdots \,\,(a – 3)\,\, \Rightarrow a – 3 =  \pm 8\) hoặc \(a – 3 =  \pm 1\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 11\\b = 2\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}a =  – 5\\b = 0\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 9\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  – 7\end{array} \right.\)


Bài 3: Cho a và b là hai số nguyên khác 0. Chứng minh rằng: Nếu a là bội của b và b là bội của a thì a = b hoặc a = -b.

Giải

a là bội của b nên a = m.b

b là bội của a nên b = n.a

Do đó a = m.n.a \( \Rightarrow \) m.n \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 1\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}m =  – 1\\n =  – 1\end{array} \right.\)

Vậy a = b khi m = 1, n= 1 hoặc a =- b khi m = -1, n = -1.