Bài 10: Tính chất chia hết của một tổng

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Nhắc lại về quan hệ chia hết.

Ta biết : Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác 0 nếu có số tự nhiên k sao cho a = b . k.

Kí hiệu : a chia hết cho b là a \( \vdots \) b

a không chia hết cho b là a \(\not  \vdots \) b

1.2. Tính chất 1.

Nếu a \( \vdots \) m và b \( \vdots \) m thì (a + b) \( \vdots \) m :

\( \vdots \) m và b \( \vdots \) m ⇒  (a + b) \( \vdots \) m

Hoặc có thể viết :  (a + b) \( \vdots \) m hoặc  a + b \( \vdots \) m đều được.

Chú ý :

a) Tính chất 1 cũng đúng đối với một hiệu (a \(\geq\) b) :

                                          \( \vdots \) m và b \( \vdots \) m ⇒  (a – b) \( \vdots \) m.

b) Tính chất 1 cũng đúng đối với một tổng có nhiều số hạng :

                                         \( \vdots \) m và b \( \vdots \) m và c \( \vdots \) m  ⇒  (a + b + c) \( \vdots \) m.

Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

 \( \vdots \) m và b \( \vdots \) m và c \( \vdots \) m  ⇒  (a + b + c) \( \vdots \) m.

1.3. Tính chất 2.

Nếu a \(\not  \vdots \) m và b \( \vdots \) m thì (a + b) \(\not  \vdots \) m :

\(\not  \vdots \) m và b \( \vdots \) m ⇒  (a + b) \(\not  \vdots \) m.

Chú ý :

a) Tính chất 2 cũng đúng đối với một hiệu (a > b) :

                                    \(\not  \vdots \) m và b \( \vdots \) m ⇒  (a – b) \(\not  \vdots \) m.

b) Tính chất 1 cũng đúng đối với một tổng có nhiều số hạng, trong đó chỉ có một số hạng không chia hết cho m các số hạng còn lại đều chia hết cho m:

                             a \(\not  \vdots \) m, b \( \vdots \) m và c \( \vdots \) m⇒ (a + b + c) \(\not  \vdots \) m.

Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.

                               a \(\not  \vdots \)  m, b \( \vdots \) m và c \( \vdots \) m⇒ (a + b + c) \(\not  \vdots \)  m.

Bài tập minh họa


 Bài 1: Không tính tổng, hãy xét xem tổng 27+81+63 có chia hết cho 3 không?

Hướng dẫn:

Ta thấy \(\)27 \( \vdots \) 3 ; 81 \( \vdots \) 3 ; 63 \( \vdots \)3 nên có thể suy ra 27+81+63 \( \vdots \) 3

Bài 2: Không tính tổng, hãy xét xem tổng 21+49+32 có chia hết cho 7 không?

Hướng dẫn: 

Ta thấy 21 \( \vdots \) 7 ; 49 \( \vdots \) 7 ; 32 \(\not  \vdots \) 7 nên có thể suy ra 21+49+32 \(\not  \vdots \) 7.

Bài 3:

Không tính hiệu, hãy xem xét hiệu 42 – 18 có chia hết cho 6 không?

Hướng dẫn:

Ta thấy 42\( \vdots \) 6 ; 18 \( \vdots \) 6 nên có thể suy ra hiệu 42 – 18 \( \vdots \) 6.