Bài 4: Hàm số mũ Hàm số lôgarit

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Hàm số mũ

a) Định nghĩa hàm số mũ

Cho số thực dương \(a\) khác 1.

Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).

b) Tính chất hàm số mũ

  • Tập xác định: \(\mathbb{R}.\)
  • Tập giá trị: \((0;+\infty )\)
  • Với \(a>1\) hàm số \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
  • Với \(0
  • Đồ thị hàm số mũ nhận trục \(Ox\) làm tiệm cận ngang.

c) Đạo hàm của hàm số mũ

  • Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm với mọi \(x\) và: \(\left ( e^x \right )’=e^x\)
  • Hàm số \(y=a^x(a>0,a\ne 1)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và: \(\left( {{a^x}} \right)’ = {a^x}{\mathop{\rm lna}\nolimits}\)
  • Đối với hàm hợp:
    • ​\(({e^u})’ = u’.{e^u}\)
    • ​\(({a^u})’ = {a^u}.\ln a.u’\)

2.2. Hàm số Lôgarit

a) Định nghĩa hàm số Lôgarit

Cho số thực dương \(a\) khác 1.

Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a.\)

b) Tính chất hàm số Lôgarit

  • Tập xác định: \(\left( {0; + \infty } \right).\)
  • Tập giá trị: \(\mathbb{R}.\)
  • Với \(a>1\): \(y=\log_ax\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
  • Với \(0
  • Với \(x_1>0,x_2>0\): \(\log_ax_1=\log_ax_2\Leftrightarrow x_1=x_2\)

c) Đạo hàm của hàm số logarit

  • \(\left( {{{\log }_a}x} \right)’ = \frac{1}{{x\ln a}}\)

  • \(\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)’ = \frac{1}{{x\ln a}}\)

  • \(\left( {\ln x} \right)’ = \frac{1}{x}\)

  • Đối với hàm hợp:
    • ​\(\left( {{{\log }_a}u} \right)’ = \frac{{u’}}{{u.\ln a}}\)
    • ​\(\left( {\ln u} \right)’ = \frac{{u’}}{{\ln u}}\)

Bài tập minh họa


Ví dụ 1:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = \left( {{x^2} – 2x + 2} \right){e^x}\)

b) \(y = {2^{{x^2} – 3x}}\)

c) \(y = \frac{{{2^x} – 1}}{{{5^x}}}\)

d) \(y = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}\)

Lời giải:

a) \(y = \left( {{x^2} – 2x + 2} \right){e^x} \Rightarrow y’ = \left( {2x – 2} \right){e^x} + \left( {{x^2} – 2x + 2} \right){e^x} = \left( {{x^2}} \right){e^x}\)

b) \(y = {2^{{x^2} – 3x}} \Rightarrow y’ = (2x – 3){.2^{{x^2} – 3x}}.\ln 2\)

c) \(y = \frac{{{2^x} – 1}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} – {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} \Rightarrow y’ = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}.\ln \frac{2}{5} – {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}.\ln \frac{1}{5}\)

d) \(y = \frac{{{e^x} – {e^{ – x}}}}{{{e^x} + {e^{ – x}}}}\)

\(\Rightarrow y’ = \frac{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right) – \left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right)\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)}^2}}}\)

Ví dụ 2:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\)

b) \(y = \frac{{\ln x}}{x}\)

c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x\)

d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\)

Lời giải:

a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y’ = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\)

b) \(y = \frac{{\ln x}}{x} \Rightarrow y’ = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x}.x – \ln x} \right) = \frac{{1 – \ln x}}{{{x^2}}}\)

c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x \Rightarrow y’ = \frac{{\ln x}}{x} + \frac{{1 + \ln x}}{x} = \frac{{1 + 2\ln x}}{x}\)

d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\) \(\Rightarrow y’ = \frac{{\left( {3{x^2} + 1x + 1} \right)’}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}} = \frac{{6x + 2}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}}\)

Ví dụ 3:

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = {\log _2}(25 – 4{x^2})\)

b) \(y = {\log _{2x + 1}}(3x + 1) – 2{\log _{3x + 1}}(2x + 1)\)

c) \(y = {\log _{\sqrt {3x + 2} }}(1 – \sqrt {1 – 4{x^2}} )\)

Lời giải:

a) Điều kiện: \(25 – 4{x^2} > 0 \Leftrightarrow – \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { – \frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right).\)

b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 2x + 1 \ne 1\\ 0 < 3x + 1 \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge – \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { – \frac{1}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).

c) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 3x + 2 \ne 1\\ 1 – \sqrt {1 – 4{x^2}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > – \frac{2}{3}\\ x \ne – \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { – \frac{2}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ { – \frac{1}{3};0} \right\}\).

Ví dụ 4:

Tìm m để hàm số \(y={\log _2}(2{x^2} + 3x + 2m – 1)\) xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Lời giải:

Điều kiện: \(2{x^2} + 3x + 2m – 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Ta có: \(\Delta = {3^2} – 4.2.(2m – 1) = 17 – 16m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{17}}{{16}}.\)

Vậy với \(m<\frac{17}{16}\) hàm số xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).