Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

  • Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([a;b]\) thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .\)

  • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx}\)

2.2. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể

Thể tích vật thể B giới hạn bởi  hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm \(a,b\) là \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx}.\) Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là \(x \in \left[ {a;\,b} \right]\) và S(x) là một hàm liên tục.

2.3. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

  • Hàm số  \(y=f(x)\) liên tục và không âm trên \([a,b].\) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .\)

  • Cho hai hàm số  \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) thỏa \(0\leq g(x)\leq f(x)\), liên tục và không âm trên \([a,b].\) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) – {g^2}(x)} \right]dx}.\)
  • Cho hai hàm số hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\)​ quay quanh trục hoành hoành tạo nên một khối tròn xoay. Để tính được thể tích khối tròn xoay ta thực hiện các bước:
    • Giải phương trình \(f(x) = g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = a\\ x = b \end{array} \right.\) (Thường dạng bài này đề bài cho phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt).
    • Giải sử \(0\leq g(x)\leq f(x)\) với mọi x thuộc \([a,b].\) Khi đó: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) – {g^2}(x)} \right]dx}.\)
  • Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = g(y)\), trục tung và hai đường thẳng \(y = c,\,y = d\) quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức \(V = \pi \int\limits_c^d {{g^2}(y)dy}.\)

Bài tập minh họa


Ví dụ 1:

Tính diện tích tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = {x^3},\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = – 1,x = 2.\)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong \(y = {x^3}\) và trục hoành:

Diện tích hình phẳng cần tính:

\(S = \int\limits_{ – 1}^0 {\left| {{x^3}} \right|dx + \int\limits_0^2 {\left| {{x^3}} \right|dx} = \int\limits_{ – 1}^0 {\left( { – {x^3}} \right)} dx + \int\limits_0^2 {{x^3}dx} }\) \(= \left. { – \frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ – 1}^0 + \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^2 = \frac{{17}}{4}\)

Ví dụ 2:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {e + 1} \right)x\) và \(y=(1+e^x)x.\)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:\(\left( {e + 1} \right)x = \left( {1 + {e^x}} \right)x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {{e^x} = e} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\)

Nhận xét, với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì hiệu số \(\left( {1 + {e^x}} \right)x – \left( {e + 1} \right)x = x\left( {{e^x} – e} \right) > 0.\)

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {1 + {e^x}} \right)x – \left( {e + 1} \right)x} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{e^x} – e} \right)} \right|dx = \int\limits_0^1 {x\left( {{e^x} – e} \right)} dx}\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = \left( {e – {e^x}} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = ex – {e^x}} \end{array}} \right.} \right.\)

\({ \Rightarrow S = x\left( {ex – {e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. – \int\limits_0^1 {\left( {ex – {e^x}} \right)dx} }\) \(= \left( { – \frac{{e{x^2}}}{2} + {e^x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{{e – 2}}{2}.\)

Ví dụ 3:

Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=3\) , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le 3} \right)\) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng \(x\) và \(2\sqrt {9 – {x^2}}.\)

Lời giải:

Diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh là \(x;2\sqrt {9 – {x^2}}\) là \(2x\sqrt {9 – {x^2}}\)

Khi đó, thể tích của vật thể được xác định bằng công thức \(V = \int\limits_0^3 {2x\sqrt {9 – {x^2}} dx}\)

Đặt \(t = \sqrt {9 – {x^2}} \Leftrightarrow {t^2} = 9 – {x^2} \Leftrightarrow xdx = – tdt\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow t = 3}\\ {x = 3 \Rightarrow t = 0} \end{array}} \right.\)

Suy ra \(V = – 2\int\limits_3^0 {{t^2}dt} = \frac{{2{t^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right. = 18.\)

Ví dụ 4:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x – {x^2}\) và \(y = x\) quay quanh trục Ox.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 2x – {x^2}\) và đường thẳng \(y=x\) là \(2x – {x^2} = x \Leftrightarrow {x^2} – x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\)

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tìm là \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {2x – {x^2}} \right)}^2} – {x^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} – 4{x^3} + 3{x^2}} \right|dx}\)

\(\Rightarrow V = \left| {\pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} – 4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx} } \right| = \pi \left| {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} – {x^4} + {x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right.} \right| = \frac{\pi }{5}.\)