Bài 2: Cực trị của hàm số

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \(x_0\in(a;b)\):

  • Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) nếu \(f(x_0)>f(x) \ \forall x\in (x_0-h,x_0+h) \setminus \left \{ x_0 \right \},h>0\)
  • Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại x0 nếu \(f(x_0)0\).

2.2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị

a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị

\(f(x)\) đạt cực trị tại \(x_0\), có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0)=0\).

b) Điều kiện đủ để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu

  • Điều kiện thứ nhất: Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng \(K = ({x_0} – h;{x_0} + h)\,(h > 0)\) và có đạo hàm trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\):
    • Nếu   thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).
    •  Nếu  thì x0 là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).
  • Cách phát biểu khác dễ hiểu hơn: Đi từ trái sang phải
    • Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ – sang + khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu.
    • Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ + sang – khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại.
  • Điều kiện thứ hai: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng \(K = ({x_0} – h;{x_0} + h)\,(h > 0)\):
    • Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f”(x_0)<0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).
    • Nếu \(f'(x_0)=0\)\(f”(x_0)>0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).

3. Qui tắc tìm cực trị

a) Quy tắc 1

  • Tìm tập xác định.
  • Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x)=0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.
  • Lập bảng biến thiên.
  • Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu.

b) Quy tắc 2

  • Tìm tập xác định.
  • Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm  của phương trình \(f'(x)=0\).
  • Tính \(f”(x)\) và \(f”(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm .

♦ Chú ý: nếu \(f”(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại .

Bài tập minh họa


4.1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số

  • Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x + \frac{4}{3}\)

b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)

Lời giải:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x + \frac{4}{3}\)

Cách 1:

  • Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • \(y’ = {x^2} – 2x – 3\)
  • \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
  • Bảng biến thiên:

  • Kết luận:
    • Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\);
    • Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\).

Cách 2: 

  • Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • \(y’ = {x^2} – 2x – 3\)
  • \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
  • \(y ”= 2x – 2\)
    •  \(y”\left( { – 1} \right) = – 4 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=3\).
    • ​\(y”\left( 3 \right) = 4 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x=3\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y_{CD}=-\frac{23}{3}\).

b) \(y = \left| x \right|\left( {x + 2} \right)\)

  • Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • \(y’ = \frac{x}{{\left| x \right|}}\left( {x + 2} \right) + \left| x \right| = \frac{{2\left( {{x^2} + x} \right)}}{{\left| x \right|}} (x\ne0)\)
  • Bảng biến thiên:

  • Kết luận:
    • Hàm số đạt cực đại tại \(x=-1,\) giá trị cực đại tương ứng là \(y(-1)=1;\)
    • Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0,\) giá trị cực tiểu \(y(0)=0.\)
  • Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số \(y=x-sin2x+2.\)

Lời giải: 

  • Hàm số có TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • \(y’ = 1 – 2\cos 2x\)
  • \(y’=0 \Leftrightarrow \cos2x\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi (k\in\mathbb{Z})\)
  • ​\(y” = 4\sin 2x\)
    • \(y”\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{3} + 2k\pi } \right) = 2\sqrt 3 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi\), giá trị cực tiểu tương ứng là \(y\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = {\textstyle{\pi \over 6}} + k\pi – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\).
    • ​\(y”\left( { – \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { – \frac{\pi }{3} + 2k\pi } \right) = – 2\sqrt 3 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = -\frac{\pi }{6} + k\pi\), giá trị cực đại tương ứng là \(y\left( { – \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = – \frac{\pi }{6} + k\pi – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\).​

4.2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 3:

Tìm m để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^3} + 3{x^2} + mx – 5\) có 2 cực trị

Lời giải:

  • Với m=-2 hàm số trở thành \(y = 3{x^2} – 2x – 5\) không thể có hai cực trị. (1)
  • Với \(m\ne-2\) ta có: \(y’ = 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 6x + m\)
    • Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y’=0\) có hai nghiệm phân biệt.
    • Điều này xảy ra khi: \(\Delta ‘ = – 3\left( {{m^2} + 2m – 3} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m – 3 < 0 \Leftrightarrow – 3 < m < 1.\) (2)
  • Từ (1) (2) suy ra hàm số có hai cực trị khi: \(m \in \left( { – 3; – 2} \right) \cup \left( { – 2;1} \right)\)

Ví dụ 4: 

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(\: y = -x^3 + (m+3)x^2 – (m^2 + 2m)x – 2\) đạt cực đại tại \(x=2.\)

Lời giải:

  • Hàm số có tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
  • \(y’ = -3x^2 + 2(m+3)x-(m^2 + 2m);\)
  • Để hàm số có cực trị tại \(x=2\) thì:
    • ​\(y'(2) = 0 \Leftrightarrow – 12 + 4(m + 3) – {m^2} – 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\)
    • Ta có: \(y” = – 6x + 2(m + 3)\)
      • Với \(m=0\) thì \(y”(2)=-6<0.\)
      • Với \(m=2\) thì \(y”(2)=-2<0\).
  • Thứ lại với \(m=0\) và \(m=2\) hàm số đều đạt cực đại tại x=2.