Ôn tập cuối năm Phần Đại số và Giải tích

Tóm tắt lý thuyết

1. Phần đại số

a) Hàm số lượng giác

  • Hàm số lượng giác: Hàm số sin, hàm số cos, hàm số tang, hàm số cotang.
  • Phương trình lượng giác:
    • Phương trình lượng giác cơ bản theo sin, cos, tan, cot.
    • Các dạng phương trình lượng giác thường gặp:
      • Phương trình lượng giác đưa về dạng đại số.
      • Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
      • Phương trình chứa tổng (hay hiêu) và tích của sin và cos.
      • Phương trình đẳng cấp đối với sin và cos.

b) Tổ hợp và xác suất

  • Quy tắc đếm: Quy tắc nhân, quy tắc cộng.
  • Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
  • Nhị thức Newton.
  • Lý thuyết cơ bản về xác suất:
    • Phép thử và biến cố.
    • Xác suất của biến cố.

c) Dãy số

  • Phương pháp quy nạp toán học.
  • Dãy số: Khái niệm dãy số, cách cho một dãy số, dãy số tăng-dãy số giảm-dãy số bị chặn.
  • Cấp số cộng: Khái niệm, số hạng tổng quát, tính chất, tổng n số hạng đầu.
  • Cấp số nhân: Khái niệm, số hạng tổng quát, tính chất, tổng n số hạng đầu.

2. Phần Giải tích

a) Giới hạn

  • Giới hạn của dãy số:
    • Giới hạn hữu han.
    • Giới hạn vô cực,.
    • Các giới hạn đặc biệt.
    • Định lý về giới hạn hữu hạn.
    • Liên hệ giữa giới hạn hữu han và vô cực.
    • Cấp số nhân lùi vô hạn.
  • Giới hạn của hàm số:
    • Giới hạn hữu hạn.
    • Giới hạn vô cực.
    • Các giới hạn đặc biệt.
    • Các định lý về giới hạn hữu hạn.
    • Các quy tắc tính giới hạn vô cực.
  • Hàm số liên tục:
    • Hàm số liên tục.
    • Các định lý liên quan.

b) Đạo hàm

  • Các lý thuyết về đạo hàm:
    • Định nghĩa.
    • Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa.
    • Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm.
    • Ý nghĩa hình học của đạo hàm.
    • Ý nghĩa vật lý của đạo hàm.
  • Các quy tắc tính đạo hàm:
    • Các quy tắc tính đạo hàm.
    • Các công thức tính đạo hàm hàm số cơ bản.
    • Đạo hàm của hàm số lượng giác.
  • Vi phân.

 

Bài tập minh họa


Bài tập 1:

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{2n – 1}}{{3n + 2}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x – 1}}\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\lim \frac{{2n – 1}}{{3n + 2}} = \lim \frac{{n(2 – \frac{1}{n})}}{{n(3 + \frac{2}{n})}}\)\(= \lim \frac{{2 – \frac{1}{n}}}{{3 + \frac{2}{n}}}= \frac{2}{3}.\)

b)

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}(1 + \frac{1}{{{x^2}}})} }}{{2x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – x.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x(2 – \frac{1}{x})}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{2 – \frac{1}{x}}} = – \frac{1}{2}. \end{array}\)

Bài tập 2:

a) Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2{x^2} – 3x – 2}}{{x – 2}}{\rm{ ,khi }}x \ne 2\\ 2m – 1{\rm{ ,khi }}x = 2. \end{array} \right.\)

Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x=2.

b) Chứng minh rằng phương trình  \((5{m^4} + 1){x^3} + (1 – 4{m^2}){x^2} + (1 – 2{m^2})x – 1 = 0\) luôn có nghiệm x trong khoảng (0;1) với mọi giá trị m thuộc \(\mathbb{R}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f(2)=2m-1.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} – 3x – 2}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(2x + 1)(x – 2)}}{{x – 2}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2x + 1) = 5.\)

Để f(x) liên tục tại x=2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)\)\(\Leftrightarrow 2m – 1 = 5 \Leftrightarrow m = 3.\)

Vậy m=3 là giá trị cần tìm.

b) Đặt \(f(x) = (5{m^4} + 1){x^3} + (1 – 4{m^2}){x^2} + (1 – 2{m^2})x – 1\)

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên f(x) liên tục trên đoạn [0;1].

Ta có: \(f(0) = – 1 < 0;\)\(f(1) = 5{m^4} – 6{m^2} + 2\)

Mà: \(5{m^4} – 6{m^2} + 2 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\) (tam thức bậc hai theo \(t=m^2\)).

Do đó: \(f(0).f(1) < 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)

Bài tập 3:

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: \(y = x.\cos x\) và \(y = \sqrt {{x^2} – 3x} .\)

b) Cho hàm số \(y = {x^3} – 5x + 3\)có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7.

Hướng dẫn giải:

a) \(y’ = {\left( {x.\cos x} \right)^’} = {(x)^’}.\cos x + x.{(\cos x)^’}= \cos x – x.\sin x.\)

\(y’ = \left( {\sqrt {{x^2} – 3x} } \right)’ = \frac{{({x^2} – 3x)’}}{{2\sqrt {{x^2} – 3x} }}\)\(= \frac{{2x – 3}}{{2\sqrt {{x^2} – 3x} }}\).

b) Gọi d là tiếp tuyến thỏa đề,\(M({x_0};{y_0})\) là tiếp điểm của d và (C).

Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng: \(y = y'({x_0})(x – {x_0}) + {y_0}.\)

Theo đề bài hệ số góc bằng 7 nên ta có:

\(y'({x_0}) = 7 \Leftrightarrow 3x_0^2 – 5 = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2\\ {x_0} = – 2 \end{array} \right.\)

+ Với \(x_0=2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x – 13.\)

+ Với \(x_0=-2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x + 19.\)

Bài tập 4:

Cho hàm số \(y = \sin 2x.\) Chứng minh \(y’\,’\,\, + \,\,4y = 0\).

Hướng dẫn giải:

\(y’ = {(\sin 2x)^’} = \cos 2x.(2x)’=2. \cos 2x.\)

\(y” = (2.\cos 2x)’ = 2.( – \sin 2x).(2x)’ = – 4\sin 2x.\)

Suy ra: \(y” + 4y = – 4.\sin 2x + 4.\sin 2x = 0\) (Điều phải chứng minh).