Ôn tập chương 5 Đạo hàm

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Hệ thống kiến thức chương V Đại số và Giải tích 11

Hệ thống kiến thức chương đạo hàm

Hình 1: Hệ thống kiến thức chương đạo hàm

1.2. Các công thức tính đạo hàm

BẢNG 1: CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM LỚP 11

Hàm số Hàm hợp tương ứng
\({\left( C \right)^\prime } = 0\,\,\,\,\,;\,\,\,\,{\left( x \right)^\prime } = 1\)
\({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n – 1}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}\,\,,\,\,n \ge 2} \right)\) \({\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n – 1}}.u’\,\,\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N}\,\,,\,\,n \ge 2} \right)\)
\({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,\,\,,\,\,\left( {x > 0} \right)\) \(\,\,\,{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u’\,}}{{2\sqrt u }}\,\,\,\,\,,\,\,\left( {u > 0} \right)\)
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\,\,\,\) \({\left( {\sin u} \right)^\prime } = u.’\cos u\)
\({\left( {\cos x} \right)^\prime } = – \sin x\,\) \({\left( {\cos u} \right)^\prime } = – u’.\sin u\)
\({\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\) \(\,\,{\left( {\tan u} \right)^\prime } = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}\,\)
\({\left( {\cot x} \right)^\prime } = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,\,\) \(\,\,{\left( {\cot u} \right)^\prime } = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}\,\)

Bài tập minh họa


Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} – 2{x^2} + 3x + 4\)                         b) \(y = \sin x – \cos x + \tan x\)

c) \(y = {x^4} + 2\sqrt x \)                                    d) \(y = \cot x – 3x + 2\)

Hướng dẫn:

a) \(y’ = \left( {{x^3} – 2{x^2} + 3x + 4} \right)’ = 3{x^2} – 4x + 3\)

b) \(y’ = \left( {\sin x – \cos x + \tan x} \right)’ = \cos x + \sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

c) \(y’ = \left( {{x^4} + 2\sqrt x } \right)’ = 4{x^3} + \frac{1}{{\sqrt x }}\)

d) \(y’ = \left( {\cot x – 3x + 2} \right)’ =  – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 3\)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số tại các điểm tương ứng

a) \(y =  – {x^3} + 3{x^2} – 4x + 1\) tại \({x_0} =  – 1\)

b) \(y = \sin 2x + \cos x\) tại \({x_0} =  – \frac{\pi }{4}\)

c) \(y = \sqrt x  – 2x\) tại \({x_0} = 2\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
a) y’ = \left( { – {x^3} + 3{x^2} – 4x + 1} \right)’ =  – 3{x^2} + 6x – 4\\
\Rightarrow y’\left( { – 1} \right) =  – 3 – 6 – 4 =  – 13
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
b) y’ = \left( {\sin 2x + \cos x} \right)’ = 2\cos 2x – \sin x\\
\Rightarrow y’\left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = 2\cos \left( { – \frac{\pi }{2}} \right) – \sin \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
c) y’ = \left( {\sqrt x  – 2x} \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }} – 2\\
\Rightarrow y’\left( 2 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} – 2 = \frac{{1 – 4\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}
\end{array}\)

Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số

\(\begin{array}{l}
{\rm{a) }}y = \frac{{{x^2} + 3x – 1}}{{x + 1}}\\
{\rm{b) }}y = \sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 – x} \right)\\
{\rm{c) }}y = \sqrt {{x^2} + 4x + 1} \\
{\rm{d) }}y = \tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)
\end{array}\)

Hướng dẫn:

a) \({\rm{ }}y’ = \left( {\frac{{{x^2} + 3x – 1}}{{x + 1}}} \right)’ = \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) – \left( {{x^2} + 3x – 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

b) \(y’ = \left( {\sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 – x} \right)} \right)’ = 2\cos \left( {2x + 1} \right) + \sin \left( {1 – x} \right)\)

c) \(y’ = \left( {\sqrt {{x^2} + 4x + 1} } \right)’ = \frac{{2x + 4}}{{2\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }} = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }}\)

\(\begin{array}{l}
d) y’ = \left( {\tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)} \right)’ = \frac{{\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)’}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}}\\
= \frac{{2x + \frac{1}{{\sqrt x }}}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{2x\sqrt x  + 1}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}}
\end{array}\)

Ví dụ 4: Chứng minh \(y’ + 2{y^2} + 2 = 0\) với \(y = \cot 2x\)

Hướng dẫn:

Ta có \(y’ =  – \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\)

Khi đó \(y’ + 2{y^2} + 2 =  – \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}} + \frac{{2{{\cos }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}} + 2 = \frac{{ – 2 + 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)}}{{{{\sin }^2}2x}} = 0\) (đpcm)