Bài 5: Xác suất của biến cố

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Xác suất của biến cố

a) Định nghĩa cổ điển của xác suất

Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu \(\Omega \) là một tập hữu hạn. Giả sử A là một biến cố được mô ta bằng \({\Omega _A} \subset \Omega \). Xác suất của biến cố A,  kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức

\(P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \)\(\frac{{{\rm{So \, ket\, qua\, thuan\, loi\, cho\, A}}}}{{{\rm{So\, ket\, qua\, co\, the\, xay\, ra}}}}\).

Chú ý: \( \bullet \) Xác suất của biến cố A chỉ phụ thuộc vào số kết quả thuận lợi cho A, nên ta đồng nhất \({\Omega _A}\) với A nên ta có : \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)

\( \bullet \) \(P(\Omega ) = 1,{\rm{ }}P(\emptyset ) = 0,{\rm{ }}0 \le P(A) \le 1\)

b) Định nghĩa thống kê của xác suất

Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đó. Nếu tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A

Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau:

\(P(A) = \)\(\frac{{{\rm{So \, lan \, xuat \, hien \, cua \, bien \, co \, A}}}}{N}\).

1.2. Tính chất của xác suất

a) \(P(\emptyset ) = \,0,P(\Omega ) = \,1\)

b) \(0 \le P(A) \le \,\,1\), với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc thì:

\(P(A \cup B)\, = \,P(A)\, + \,P(B)\,\) (công thức cộng xác suất).

d) Với mọi biến cố A ta có:

\({\rm{P(}}\overline {\rm{A}} {\rm{) = }}\,{\rm{1 – }}\,{\rm{P(A)}}\)

1.3. Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

\( \bullet \) Mở rộng quy tắc cộng xác suất

Cho \(k\) biến cố \({A_1},{A_2},…,{A_k}\) đôi một xung khắc. Khi đó:

\(P({A_1} \cup {A_2} \cup … \cup {A_k}) = P({A_1}) + P({A_2}) + … + P({A_k})\).

\( \bullet \) \(P(\overline A ) = 1 – P(A)\)

\( \bullet \) Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý  cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: \[P(A \cup B) = P\left( A \right) + P\left( B \right) – P\left( {AB} \right)\].

1.4. Quy tắc nhân xác suất

\( \bullet \) Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.

\( \bullet \) Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).

Bài tập minh họa


Ví dụ 1:

Bộ bài tú – lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tìm xác suất của các biến cố:

A: “Rút ra được tứ quý K ‘’.

B: “4 quân bài rút ra có ít nhất một con Át”.

C: “4 quân bài lấy ra có ít nhất hai quân bích’’.

Hướng dẫn giải:

Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: \(C_{52}^4 = 270725\)

Suy ra \(n(\Omega ) = 270725\)

Vì bộ bài chỉ có 1 tứ quý K nên ta có \(n(A) = 1\)

Vậy \(P(A) = \frac{1}{{270725}}\).

Vì có \(C_{48}^4\) cách rút 4 quân bài mà không có con Át nào,

suy ra \(N(b) = C_{52}^4 – C_{48}^4\)\( \Rightarrow P(B) = \frac{{15229}}{{54145}}\).

Vì trong bộ bài có 13 quân bích, số cách rút ra bốn quân bài mà trong đó số quân bích không ít hơn 2 là: \(C_{13}^2.C_{39}^2 + C_{13}^3C_{39}^1 + C_{13}^4.C_{39}^0 = 69667\)

Suy ra \(n(C) = 69667 \Rightarrow P(C) = \frac{{5359}}{{20825}}\).

Ví dụ 2:

Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để:

a) 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ

b) 3 viên bi lấy ra có không quá hai màu.

Hướng dẫn giải:

Gọi  biến cố A :“ 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ”

B : “3 viên bi lấy ra có không quá hai màu”

Số các lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là: \(C_{20}^3\) nên ta có: \(\left| \Omega  \right| = C_{20}^3 = 1140\)

a)  Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là: \(C_8^3 = 56\) nên \(\left| {{\Omega _A}} \right| = 56\)

Do đó: \(P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \frac{{56}}{{1140}} = \frac{{14}}{{285}}\).

b) Ta có:

\( \bullet \) Số cách lấy 3 viên bi chỉ có một màu: \(C_8^3 + C_7^3 + C_5^3 = 101\)

\( \bullet \) Số các lấy 3  viên bi có đúng hai màu

Đỏ và xanh: \(C_{15}^3 – \left( {C_8^3 + C_7^3} \right)\)

Đỏ và vàng: \(C_{13}^3 – \left( {C_8^3 + C_5^3} \right)\)

Vàng và xanh: \(C_{12}^3 – \left( {C_5^3 + C_7^3} \right)\)

Nên số cách lấy 3 viên bi có đúng hai màu:

\(C_{15}^3 + C_{13}^3 + C_{12}^3 – 2\left( {C_8^3 + C_7^3 + C_5^3} \right) = 759\)

Do đó: \(\left| {{\Omega _B}} \right| = 860\). Vậy \(P(B) = \frac{{\left| {{\Omega _B}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \frac{{43}}{{57}}\).

Ví dụ 3:

Một con súc sắc không đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt còn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn.

Hướng dẫn giải:

Gọi \({A_i}\) là biến cố xuất hiện mặt \(i\) chấm \((i = 1,2,3,4,5,6)\)

Ta có \(P({A_1}) = P({A_2}) = P({A_3}) = P({A_5}) = P({A_6}) = \frac{1}{3}P({A_4}) = x\)

Do \(\sum\limits_{k = 1}^6 {P({A_k}) = 1 \Rightarrow 5x + 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{8}} \)

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, suy ra \(A = {A_2} \cup {A_4} \cup {A_6}\)

Vì cá biến cố \({A_i}\) xung khắc nên:

\(P(A) = P({A_2}) + P({A_4}) + P({A_6}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}.\)

Ví dụ 4:

Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51 .Tìm các suất sao cho 3 lần sinh có ít nhất 1 con trai.

Hướng dẫn giải:

Gọi A là biến cố ba lần sinh có ít nhất 1 con trai, suy ra \(\overline A \) là xác suất 3 lần sinh toàn con gái.

Gọi \({B_i}\) là biến cố lần thứ i sinh con gái (\[i = 1,2,3\])

Suy ra \(P({B_1}) = P({B_2}) = P({B_3}) = 0,49\)

Ta có:  \(\overline A  = {B_1} \cap {B_2} \cap {B_3}\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( {{B_1}} \right)P\left( {{B_2}} \right)P\left( {{B_3}} \right) = 1 – {\left( {0,49} \right)^3} \approx 0,88.\)