Bài 4: Phép đối xứng tâm

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phép đối xứng tâm

a) Định nghĩa

Ký hiệu: ĐI

– I gọi là tâm đối xứng.

– Nếu ĐI(H) = H’ thì ta gọi H đối xứng với H’ qua tâm I hay H và H’ đối xứng nhau qua tâm I.

– Ta có: ĐI(M)=M’\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM’}  =  – \overrightarrow {IM} \)

Phép đối xứng tâm

b) Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm

– Ví dụ: Cho tam giác ABC và điểm I. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của ABC qua phép đối xứng tâm I.

Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm

ĐI(ABC)=A’B’C’.

c) Chú ý

Ta có: ĐI(M)=M’\( \Leftrightarrow \)ĐI(M’)=M.

Chứng minh: ĐI(M)=M’\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM’}  =  – \overrightarrow {IM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IM}  =  – \overrightarrow {IM’}  \Leftrightarrow \)ĐI(M’)=M.

1.2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

a) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x;y), gọi độ M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O ta có:

ĐO(M)=M’ thì: \(\left\{ \begin{array}{l}x’ =  – x\\y’ =  – y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ =  – x\\y’ =  – y\end{array} \right.\)

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm bất kì

Trong hệ tọa độ Oxy, cho \(E(a;b),\,M\left( {{x_0};{y_0}} \right).\) ĐE(M)=M’(x0’;y0’) có biểu thức tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x{‘_0} = 2a – {x_0}\\y{‘_0} = 2a – {y_0}\end{array} \right..\)

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm bất kì

1.3. Tính chất

Tính chất 1:

Nếu ĐI(M)=M’ và ĐI(N)=N’ thì: \(\left\{ \begin{array}{l}M’N’ = MN\\\overrightarrow {M’N’}  =  – \overrightarrow {MN} \end{array} \right.\)

Tính chất 1 phép đối xứng tâm

Nếu ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối xứng tâm biến thành M’, N’, P’ tương ứng cũng thẳng hàng theo thứ tự đó.

Ba điểm thẳng hàng qua phép đối xứng tâm

Tính chất 2:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

1.4. Tâm đối xứng của một hình

Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua I biến H thành chính nó.

\( \Rightarrow \) Ta gọi H là hình có tâm đối xứng.

Tâm đối xứng của một hình

Bài tập minh họa


Ví dụ 1:

Cho A(-1;3), \(d:x – 2y + 3 = 0.\) Tìm ảnh của điểm A và d qua phép đối xứng tâm O.

Hướng dẫn giải:

  • Ý 1: A’=ĐO(A) suy ra A’(1;-3).
  • Ý 2:

Cách 1:

Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) ĐO(M)=M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x’ =  – x\\y’ =  – y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  – x’\\y =  – y’\end{array} \right. \Rightarrow M( – x’, – y’)\)

\(M \in d \Rightarrow ( – x’) – 2( – y’) + 3 = 0 \Leftrightarrow x’ – 2y’ – 3 = 0.\)

Vậy phương trình d’ là: \(x – 2y – 3 = 0.\)

Cách 2:

d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm suy ra d’ song song hoặc trùng với d.

Suy ra phương trình d’ có dạng: \(x – 2y + m = 0.\)

Ta có: \(M(3;0) \in d\)

ĐO(M)=M’(x’,y’) với: \(\left\{ \begin{array}{l}x’ =  – {x_M} =  – 3\\y’ =  – {y_M} = 0\end{array} \right.\)

\(M’ \in d’ \Rightarrow 3 – 2.0 + m = 0 \Leftrightarrow m =  – 3.\)

Vậy phương trình của d’ là: \(x – 2y – 3 = 0.\)

 

Ví dụ 2:

Cho đường tròn \((C):{(x + 2)^2} + {(y – 1)^2} = 1.\) Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O(0;0).

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm I(-2;1) bán kính R=1.

Gọi I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính (C’) ta có: R’=R=1.

I’=ĐO(I) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I}’ =  – {x_I} = 2\\{y_I}’ =  – {y_I} =  – 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({(x – 2)^2} + {(y + 1)^2} = 1.\)

 

Ví dụ 3:

Cho I(2;-3), \(d:3x + 2y – 1 = 0.\) Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Hướng dẫn giải:

Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) ĐI(M)=M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = 4 – x\\y’ =  – 6 – y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 – x’\\y =  – 6 – y’\end{array} \right. \Rightarrow M(4 – x’, – 6 – y’)\)

\(M \in d \Rightarrow 3(4 – x’) + 2( – 6 – y’) – 1 = 0 \Leftrightarrow  – 3x’ – 2y’ – 1 = 0 \Leftrightarrow 3x’ + 2y’ + 1 = 0.\)

Vậy phương trình d’ là: \(3x + 2y + 1 = 0.\)