Bài 4: Cấp số nhân

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)  gọi là cấp số nhân; \(q\) gọi là công bội.

1.2. Các tính chất

\( \bullet \)  Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1}{q^{n – 1}}\).

\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi \(u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}\).

\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = {u_1}\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}\)

Bài tập minh họa


Vấn đề 1: Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số nhân

Phương pháp:

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân \( \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q\) không phụ thuộc vào n và \(q\) là công bội.

\( \bullet \) Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).

\( \bullet \) Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(q\).

Ví dụ 1:

Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm \({u_1}\) biết:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} – 1}}{{{q^2} – 1}} = 85\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} – 1}}{{{q^8} – 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \frac{{({q^4} – 1)(q + 1)}}{{(q – 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Từ đó ta tìm được \({u_1} = 1,{u_1} = 8\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4}} \right) = 11\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q(1 + q + {q^2}) = \frac{{39}}{{11}}\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = \frac{{82}}{{39}} \Leftrightarrow q = 3,q = \frac{1}{3}\).

 

Ví dụ 2:

Cho cấp số nhân \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right.\).

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số.

c) Số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?

Hướng dẫn:

Gọi \(q\) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.\)

a) Năm số hạng đầu của cấp số là:\({u_1} = 2,{u_2} = \frac{2}{3},{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}},{u_5} = \frac{2}{{81}}\).

b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

\({S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} – 1}}{{q – 1}} = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} – 1}}{{\frac{1}{3} – 1}} = 3\left[ {1 – {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \frac{{59048}}{{19683}}\).

c) Ta có: \({u_n} = \frac{2}{{{3^{n – 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{6561}} \Leftrightarrow {3^{n – 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9\)

Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số.

 

Vấn đề 3: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân

Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSN \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).

 

Ví dụ 1: Tìm \(x\) biết \(1,{x^2},6 – {x^2}\) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

Ta có: \(1,{x^2},6 – {x^2}\) lập thành cấp số nhân  \( \Leftrightarrow {x^4} = 6 – {x^2} \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 .\)

 

Ví dụ 2:

Tìm \(x,y\) biết:

a) Các số \(x + 5y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng  và  các số

\({\left( {y – 1} \right)^2},xy – 1,{\left( {x + 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân.

b) Các số \(x + 6y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng và các số \(x + \frac{5}{3}y,y – 1,2x – 3y\) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

a) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\{(x + 1)^2}{(y – 1)^2} = {(xy – 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y) = \left( { – \sqrt 3 ; – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

b) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 6y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\(x + \frac{5}{3}y)(2x – 3y) = {(y – 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y) = \left( { – 3; – 1} \right);\left( {\frac{3}{8};\frac{1}{8}} \right)\).