Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Đường thẳng a được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu a vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).

Kí hiệu: \(a \bot \left ( P \right )\)

Định nghĩa đường thẳng vuông góc mặt phẳng

\(a \bot mp(P) \Leftrightarrow a \bot c,\forall c \subset (P)\)

1.2. Định lý

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b của mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left ( P \right ).\)

Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

1.3. Các tính chất

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

1.4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

a) Tính chất 1

  • Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

\(\left. \begin{array}{l} a//b\\ \left( \alpha \right) \bot a \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot b\)

  • Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ b \bot (\alpha )\\ a \ne b \end{array} \right\} \Rightarrow a//b\)

b) Tính chất 2

  • Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ \left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\)

  • Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

 

\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ a \bot \left( \beta \right)\\ \left( \alpha \right) \ne \left( \beta \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\)

c) Tính chất 3

  • Cho đường thẳng a và mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với \(\left ( \alpha \right )\) thì cũng vuông góc với a.

\(\left. \begin{array}{l} a//(\alpha )\\ b \bot \left( \alpha \right) \end{array} \right\} \Rightarrow b \bot a\)

  • Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

\(\left. \begin{array}{l} a \bot b\\ b \bot \left( \alpha \right)\\ a \not\subset \left( \alpha \right) \end{array} \right\} \Rightarrow a//\left( \alpha \right)\)

1.5. Định lý ba đường vuông góc

Cho đường thẳng d nằm trong mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) và b là đường thẳng không thuộc \(\left ( \alpha \right )\) đồng thời không vuông góc với \(\left ( \alpha \right )\). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên \(\left ( \alpha \right )\). Kho đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.

Định lý 3 đường vuông góc

1.6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

  • Góc giữa đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) là góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\).

  • Đặc biệt: Nếu d vuông góc với mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) là 900.

Bài tập minh họa


Ví dụ 1:

Cho hình chóp  S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, \(SA \bot (ABC).\)

a) Chứng minh rằng: \(BC \bot (SAC)\).

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: \(AE \bot (SBC).\)

c) Gọi (P) là mặt phẳng qua AE và vuông góc với SB, (P) giao với SB tại D. Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: \(AF \bot (SAB).\)

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C

a) Ta có: \(BC \bot AC{\rm{ }}(gt){\rm{ (1)}}\)

Mặt khác: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ BC \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BC\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(BC \bot (SAB).\)

b) Ta có: \(AE \bot SC{\rm{ (3) (gt)}}\)

Theo câu a ta có: \(BC \bot (SAB) \Rightarrow AE \bot BC{\rm{ (4)}}\)

Từ (3) (4) suy ra: \(AE \bot (SBC).\)

c) Ta có mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng (ADE).

Từ \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ AF \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow AF \bot SA{\rm{ (5)}}\)

Do \(SB \bot (ADE) \Rightarrow AF \bot SB{\rm{ (6)}}\).

Từ (5) (6) suy ra: \(AF \bot (SAB).\)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(SA \bot (ABCD)\), AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: Tam giác SCD vuông.

Lời giải:

Hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B

Ta có: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABCD)\\ CD \subset (ABCD) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot CD(1)\)

Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông.

Do đó, \(\widehat {ACI} = {45^0}.\) (*)

Mặt khác tam giác CID vuông cân tại I nên \(\widehat {BCI} = {45^0}.\) (**)

Từ (*) (**) suy ra: \(\widehat {ACD} = {90^0}\) hay \(AC \bot CD (2)\).

Từ (1) và (2) suy ra: \(CD \bot (SAC) \Rightarrow CD \bot SC\).

Hay tam giác SCD vuông tại C.

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SA = a\sqrt 6\). Tính sin của góc giữa:

a) SC và (SAB).

b) AC và (SBC).

Lời giải:

Hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a

a) Ta có: \(BC \bot AB{\rm{ (gt)}}\).

\(SA \bot BC\) (Vì \(SA \bot (ABCD)\))

Suy ra: \(BC \bot (SAB).\)

Do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).

\(\Rightarrow (SC,(SAB)) = \widehat {BSC}.\)

Ta có: \(\sin (SC,(SAB)) = \sin \widehat {BSC} = \frac{{BC}}{{SC}} = \frac{a}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

b) Trong  mặt phẳng (SAB) kẻ: \(AH \bot SB{\rm{ (H}} \in {\rm{SB)}}.\)

Theo câu a ta có: \(BC \bot (SAB) \Rightarrow AH \bot BC\) nên \(AH \bot (SBC)\) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mặt phẳng (SBC).

\(\Rightarrow (AC,(SBC)) = \widehat {ACH}.\)

Xét tam giác vuông SAB có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{7}{{6{a^2}}} \Rightarrow AH = a.\sqrt {\frac{6}{7}} .\)

Vậy: \(\sin (AC,(SBC)) = \sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)