Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

 

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Hàm số \(y=sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\sin x} \right)’ = \cos x.\)

Nếu \(y=sin u\) và \(u=u(x)\) thì \((sin u)’=u’. \cos u.\)

1.2. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Hàm số \(y=\cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cos x} \right)’ =-\sin x.\)

Nếu \(y=\cos u\) và \(u=u(x)\) thì \((cos u)’=-u’. \sin u.\)

1.3. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Hàm số \(y=\tan x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\tan x} \right)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)

Nếu \(y=tan u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\tan u} \right)’ = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}.\)

1.4. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Hàm số \(y=\cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cot x} \right)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)

Nếu \(y=\cot u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\cot x} \right)’ = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}\).

Bài tập minh họa


Ví dụ 1:

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right).\)

b) \(y = \sin \sqrt {x + 10} .\)

c) \(y = \sin \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right).\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)\)\(\Rightarrow y’ = \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)’.\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)\)\(= – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right).\)

b) \(y = \sin \sqrt {x + 10}\)\(\Rightarrow y’ = \left( {\sqrt {x + 10} } \right)’.\cos \sqrt {x + 10}\)\(= \frac{1}{{2\sqrt {x + 10} }}.\cos \sqrt {x + 10} .\)

c) \(y = \sin \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right)\)\(\Rightarrow y’ = \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right)’.\cos \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right)\)\(= \frac{{ – 1}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}.\cos \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right).\)

Ví dụ 2:

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \cos \left( {{x^3} – x} \right).\)

b) \(y = \cos \sqrt {{x^2} – 8} .\)

c) \(y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \cos \left( {{x^3} – x} \right)\)\(\Rightarrow y’ = – \left( {{x^3} – x} \right)’.\sin \left( {{x^3} – x} \right)\)\(= – \left( {3{x^3} – 1} \right).\sin \left( {{x^3} – x} \right).\)

b) \(y = \cos \sqrt {{x^2} – 8}\)\(\Rightarrow y’ = – \left( {\sqrt {{x^2} – 8} } \right)’.\sin \sqrt {x + 10}\)\(= \frac{x}{{\sqrt {{x^2} – 8} }}.\sin \sqrt {{x^2} – 8} .\)

c) \(y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)\)\(\Rightarrow y’ = \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)’.\sin \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right)\)\(= \frac{4}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\sin \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).\)

Ví dụ 3:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \tan \left( {{x^5} – 5x} \right)\).

b) \(y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \tan \left( {{x^5} – 5x} \right)\) \(\Rightarrow y’ = \frac{{({x^5} – 5x)’}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} – 5x} \right)}} = \frac{{5{x^4} – 5}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} – 5x} \right)}}\).

b) \(y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}\)\(\Rightarrow y’ = \frac{{\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}} = \frac{{2{x^3}}}{{\sqrt {{x^4} + 1} .{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}\).

Ví dụ 4:

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \cot \left( {7{x^3} – 6x} \right)\).

b) \(y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right)\).

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \cot \left( {7{x^3} – 6x} \right)\) \(\Rightarrow y’ = \frac{{(7{x^3} – 6x)’}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} – 6x} \right)}} = – \frac{{21{x^2} – 6}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} – 6x} \right)}}\).

b) \(y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right)\)\(\Rightarrow y’ = 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left[ {\cot \left( {5x + 1} \right)} \right]’\)

\(= 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left( {\frac{{ – 5}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}} \right)\)\(= \frac{{ – 20{{\cot }^3}\left( {5x + 1} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}\).