Bài 3 :Cấp số cộng

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + d}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)  gọi là cấp số cộng; \(d\) gọi là công sai.

1.2. Các tính chất

\( \bullet \)  Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + (n – 1)d\).

\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi \({u_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_k} + {u_{k + 2}}} \right)\).

\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]\).

Bài tập minh họa


Vấn đề 1: Xác định cấp số cộng và xác yếu tố của cấp số cộng

Phương pháp:

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} = d\) không phụ thuộc vào n và \(d\) là công sai.

\( \bullet \) Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow a + c = 2b\).

\( \bullet \) Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(d\).

 

Ví dụ 1:

Cho CSC \(({u_n})\) thỏa : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} – {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)

a) Xác định công sai.

b) Công thức tổng quát của cấp số cộng.

c) Tính \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + … + {u_{2011}}\).

Hướng dẫn:

Gọi \(d\) là công sai của CSC, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) – ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\)

Ta có công sai \(d = 3\) và số hạng tổng quát : \({u_n} = {u_1} + (n – 1)d = 3n – 2\).

Ta có các số hạng \({u_1},{u_4},{u_7},…,{u_{2011}}\) lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai \(d’ = 3d\), nên ta có: \(S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d’} \right) = 673015\)

Ví dụ 2:

Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} – {u_2} =  – 21\\3{u_7} – 2{u_4} =  – 34\end{array} \right.\).

a) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

b) Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng.

c) Tính \(S = {u_4} + {u_5} + … + {u_{30}}\).

Hướng dẫn:

Từ giả thiết bài toán, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) – ({u_1} + d) =  – 21\\3({u_1} + 6d) – 2({u_1} + 3d) =  – 34\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d =  – 7\\{u_1} + 12d =  – 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d =  – 3\end{array} \right.\).

a) Số hạng thứ 100 của cấp số: \({u_{100}} = {u_1} + 99d =  – 295\)

b) Tổng của 15 số hạng đầu: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] =  – 285\)

c) \(S = {S_{30}} – {S_3} = 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) – \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right) =  – 1242\).

 

Vấn đề 2: Chứng minh tính chất của cấp số cộng

Phương pháp:

\( \bullet \) Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.

\( \bullet \) Sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)

 

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng các số: \(1,\sqrt 3 ,3\) không thể cùng thuộc một CSC

Hướng dẫn:

Giả sử \(1,\sqrt 3 ,3\) là số hạng thứ \(m,n,p\) của một CSC \(({u_n})\).

Ta có:

\(\sqrt 3  = \frac{{3 – \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  – 1}} = \frac{{{u_p} – {u_n}}}{{{u_n} – {u_m}}} = \frac{{{u_1}(p – n)}}{{{u_1}(n – m)}} = \frac{{p – n}}{{n – m}}\) vô lí vì \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ, còn \(\frac{{p – n}}{{n – m}}\) là số hữu tỉ.

 

Vấn đề 3: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng

Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)

 

Ví dụ 4:

Tìm \(x\) biết : \({x^2} + 1,x – 2,1 – 3x\) lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn:

Ta có: \({x^2} + 1,x – 2,1 – 3x\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow {x^2} + 1 + 1 – 3x = 2(x – 2) \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2\,;\,x = 3\)

Vậy \(x = 2,x = 3\) là những giá trị cần tìm.

 

Ví dụ 5:

Xác định m để phương trình \({x^3} – 3{x^2} – 9x + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn:

Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Khi đó:\({x_1} + {x_3} = 2{x_2},{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3 \Rightarrow {x_2} = 1\)

Thay vào phương trình ta có: \(m = 11\).

Với \(m = 11\) ta có phương trình :\({x^3} – 3{x^2} – 9x + 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} – 2x – 11} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1 – \sqrt {12} ,{x_2} = 1,{x_3} = 1 + \sqrt {12} \)

Ba nghiệm này lập thành CSC.

Vậy \(m = 11\) là giá trị cần tìm.