Bài 1: Giới hạn của dãy số

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

a) Định nghĩa

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = 0\) .Hay là: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {u_n} = 0\) khi và chỉ khi với mọi \(\varepsilon  > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho: \(\left| {{u_n}} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{u_n} – a} \right) = 0\), tức là: Với mọi \(\varepsilon  > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho \(\left| {{u_n} – a} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).

Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

b) Một số giới hạn đặc biệt

\( \bullet \) \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)

\( \bullet \) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {q^n} = 0\)

\( \bullet \) Nếu \({u_n} = c\) (với \(c\) là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } c = c\)

Chú ý: Ta viết \(\lim {u_n} = a\) thay cho cách viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\).

1.2. Một số định lí về giới hạn

Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa \(\left| {{u_n}} \right| < {v_n}\) kể từ số hạng nào đó trở đi và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Định lí 2. Cho \(\lim {u_n} = a,{\rm{ }}\lim {v_n} = b\). Ta có:

\( \bullet \)\(\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b\)                                                                             \( \bullet \)\(\lim ({u_n} – {v_n}) = a – b\)

\( \bullet \) \(\lim ({u_n}.{v_n}) = a.b\)                      \( \bullet \) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}{\rm{ (}}b \ne 0)\)

\( \bullet \) Nếu \({u_n} \ge 0{\rm{ }}\forall n\) thì \(\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a \)

1.3. Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN \(({u_n})\) có công bội q thỏa \(\left| q \right| < 1\). Khi đó tổng

\(S = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} + ….\) gọi là tổng vô hạn của CSN và

\(S = \lim {S_n} = \lim \frac{{{u_1}(1 – {q^n})}}{{1 – q}} = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}\).

1.4. Giới hạn vô cực

a) Định nghĩa

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty  \Leftrightarrow \) với mỗi số dương  tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn  số dương đó .

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  – \infty  \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( { – {u_n}} \right) =  + \infty \).

b) Một số kết quả đặc biệt

\( \bullet \)\(\lim {n^k} =  + \infty \) với mọi \(k > 0\)

\( \bullet \) \(\lim {q^n} =  + \infty \) với mọi \(q > 1\).

c) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1: Nếu \(\lim {u_n} =  \pm \infty \), \(\lim {v_n} =  \pm \infty \) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:

        \(\lim {u_n}\)       \(\lim {v_n}\)     \(\lim ({u_n}{v_n})\)
        \( + \infty \)

\( + \infty \)

\( – \infty \)

\( – \infty \)

        \( + \infty \)

\( – \infty \)

\( + \infty \)

\( – \infty \)

      \( + \infty \)

\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \infty \)

Quy tắc 2: Nếu \(\lim {u_n} =  \pm \infty \), \(\lim {v_n} = l\) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:
        \(\lim {u_n}\)

  Dấu của \(l\)

\(\lim ({u_n}{v_n})\)

\( + \infty \)

\( + \infty \)

\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \)

\( – \)

\( + \)

\( – \)

\( + \infty \)

\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \infty \)

Quy tắc 3: Nếu \(\lim {u_n} = l\),\(\lim {v_n} = 0\) và \({v_n} > 0\) hoặc \({v_n} < 0\) kể từ một số hạng nào dó trở đi thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) được coi như sau:

Dấu của \(l\)

Dấu của \({v_n}\)

\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)

\( + \infty \)

\( + \infty \)

\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \)

\( – \)

\( + \)

\( – \)

\( + \infty \)

\( – \infty \)

\( – \infty \)

\( + \infty \)

Bài tập minh họa


Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

Phương pháp:

Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.

\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta thường chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} – \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]\) trong đó \(\lim f(n) = \lim g(n) =  + \infty \) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.

 

Ví dụ 1:

a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} – n + 2}}.\)

b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{{n^3} – 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(A = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {3 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}\).

b) \(B = \lim \frac{{{n^3} – 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}} = \lim \frac{{{n^4}\left( {\frac{1}{n} – \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}} \right)}}{{{n^4}\left( {1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}} \right)}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} – \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = 0.\)

Ví dụ 2:

a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}.\)

b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1}  – \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} – n}}.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(A = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 – \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 – \sqrt 3 }}.\)

b) Ta có: \(B = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}}  – \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} – 1} \right)}} = \frac{{1 – \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} – 1}}\).

 

Ví dụ 3:

Tính giá trị của \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n}  – n} \right).\)

Hướng dẫn:

Ta có  \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n}  – n} \right) = \lim \frac{{{n^2} + 6n – {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}}  + 1}} = 3.\)

\( = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n}  + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}}  + 1}} = 3\)

 

Ví dụ 4:

Tính giá trị của \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right).\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  – n} \right) – \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} – n} \right)\)

\( = \lim \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n}} – \lim \frac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 2{n^2})}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\)

\( = \lim \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}}  + 1}} – \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(1 + \frac{2}{n})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}} + 1}} = \frac{1}{3}\).

 

Ví dụ 5:

Tìm  giới hạn sau \(C = \lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(1 – \frac{1}{{{k^2}}} = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}\) nên suy ra

\(\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)

Do vậy \(C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}\).