Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

a) Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\)và \(x_0 \in (a;b)\), đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\) là: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}.\)

b) Chú ý

Nếu kí hiệu \(\Delta x = x – {x_0};\,\,\Delta y = f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})\) thì:

\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì liên tục tại điểm đó.

Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x_0\) ta thực hiện như sau:

  • Chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}\) không tồn tại.
  • Hoặc chứng minh hàm số không liên tục tại \(x_0.\)

c) Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa

  • Tính \(\Delta y = f({x_0} + \Delta x) – f({x_0}) = f(x) – f({x_0})\)
  • Lập tỷ số: \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
  • Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị (C):

  • \(f'(x_0)\) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số \(y=f(x)\) tại \(M_0(x_0;y_0) \in (C).\)
  • Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là:

\(y = f'({x_0}).(x – {x_0}) + {y_0}\)

Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C):\)

Bước 1: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại \(M_0\) là \(k=f'(x_0)\)

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là: \(y = f'({x_0}).(x – {x_0}) + {y_0}\)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y=f(x) khi biết hệ số k, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).

Bước 2: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Bước 3: Giải phương trình \(k=f'(x_0)\) tìm \(x_0\), rồi tìm \(y_0=f(x_0).\)

Bước 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k là: \(y = k(x – {x_0}) + {y_0}.\)

b) Ý nghĩa vật lý

  • Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: \(s=s(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là \(v(t_0)=s'(t_0).\)
  • Cướng độ tức thời của điện lượng \(Q=Q(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là: \(I(t_0)=Q'(t_0).\)

Bài tập minh họa


Ví dụ 1:

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(f(x)=2x^2+3x+1\) tại \(x_0=-1.\)

b) \(f(x)=sinx\) tại \(x_0=\frac{\pi}{6}.\)

c) \(f(x) = \sqrt {2x – 1}\) với \(x>\frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f(x)=2x^2+3x+1\)

\(\Delta x = x + 1 \Rightarrow x = – 1 + \Delta x\) và \(\Delta y = f( – 1 + \Delta x) – f( – 1) = 2{\left( {\Delta x} \right)^2} – \Delta x\)

Vậy: \(f'( – 1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2{{\left( {\Delta x} \right)}^2} – \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x – 1} \right) = – 1.\)

b) \(f(x)=sinx\)

\(\Delta x = x – \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = \frac{\pi }{6} + \Delta x\)

\(\Delta y = f\left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) – f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) – \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)\)

\(f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}}\\ = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right).1 = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}. \end{array}\)

c) \(f(x) = \sqrt {2x – 1}\) với \(x>\frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) – f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {2(x + \Delta x) – 1} – \sqrt {2x – 1} }}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta x}}{{\left( {\sqrt {2(x + \Delta x) – 1} – \sqrt {2x – 1} } \right).\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2}{{\sqrt {2(x + \Delta x) – 1} – \sqrt {2x – 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {2x – 1} }}. \end{array}\)

Ví dụ 2:

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {(x – 1)^2}\,khi\,\,x \ge 0\\ {(x + 1)^2}\,khi\,\,x < 0 \end{array} \right..\) Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x=0 nhưng không có đạo hàm tại x=0.

Hướng dẫn giải:

Chứng minh hàm số liên tục tại x=0:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {(x – 1)^2} = 1 = f(0)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {(x + 1)^2} = 1 = f(0) \end{array}\)

Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = f(0)\) nên hàm số liên tục tại x=0.

Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x=0:

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) – f(0)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{{{\left( {\Delta x – 1} \right)}^2} – 1}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \left( {\Delta x – 2} \right) = – 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ – }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) – f(0)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ – }} \frac{{{{\left( {\Delta x + 1} \right)}^2} – 1}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ – }} \left( {\Delta x + 2} \right) = 2\)

Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) – f(0)}}{{\Delta x}} \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ – }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) – f(0)}}{{\Delta x}}\)

Nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) – f(0)}}{{\Delta x}}\).

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0.

Ví dụ 3:

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2\) tại điểm (-1;2).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \(y=x^2-2x+3\) biết:

i) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x-2y+5=0.\)

ii) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+4y=0.\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l} f'({x_0}) = f'( – 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \frac{{f(x) – f( – 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} \frac{{{x^3} – 3{x^2} + 4}}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – 1} ({x^2} – 4x + 4) = 9. \end{array}\)

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;-2) là k=f'(-1)=9.

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;2) là: \(y = 9(x + 1) – 2 = 9x + 7.\)

b) Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số \(y=x^2-2x+3\):

\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) – f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left[ {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} – 2(x + \Delta x) + 3} \right] – \left[ {{x^2} – 2x + 3} \right]}}{{\Delta x}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {2x + \Delta x} \right).\Delta x – 2.\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2x + \Delta x – 2} \right) = 2x – 2.\)

i) Đường thẳng \(4x – 2y + 5 = 0 \Leftrightarrow y = 2x + \frac{5}{2}\) có hệ số góc k’=2.

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x-2y+5=0 nên có hệ số góc k=2.

Ta có: \(f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} – 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = f(2) = 3.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 2(x – 2) + 3 \Rightarrow y = 2x – 1.\)

ii) Đường thẳng \(x + 4y = 0 \Leftrightarrow y = – \frac{1}{4}x\) có hệ số góc \(k’=-\frac{1}{4}.\)

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến. Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+4y=0 nên: \(k.k’ = – 1 \Rightarrow k = 4.\)

Ta có: \(f'({x_0}) = 4 \Leftrightarrow 2{x_0} – 2 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = f(3) = 6.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 4(x – 3) + 6 \Rightarrow y = 4x – 6.\)