Ôn tập chương 3 Phương trình, hệ phương trình

Tóm tắt lý thuyết

A. Đại cương về phương trình

1.1. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

  • Hai phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu là \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right) \Leftrightarrow {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\)
  • \({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) gọi là phương trình hệ quả của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\).

Kí hiệu là \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right) \Rightarrow {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\)

B. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

1.2. Phương trình bậc nhất

\(ax + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Hệ số Kết luận
\(a \ne 0\) \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x =  – \frac{b}{a}\)
\(a = 0\) \(b \ne 0\) \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm
\(b = 0\) \(\left( 1 \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\)

Khi \(a \ne 0\) phương trình \(ax + b = 0\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

1.3. Phương trình bậc hai

\(a{x^2} + bx + c = 0{\rm{  }}\left( {a \ne 0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
\(\Delta  = {b^2} – 4ac\) Kết luận
\(\Delta  > 0\) \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,\,\,2}} = \frac{{ – \,b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}\)
\(\Delta  = 0\) \(\left( 2 \right)\) có nghiệm kép \(x =  – \frac{b}{{2a}}\)
\(\Delta  < 0\) \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm

1.4. Định lí Vi -ét

Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thì

\({x_1} + {x_2} =  – \frac{b}{a},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\)

Ngược lại, nếu hai số \(u\) và \(v\) có tổng \(u + v = S\) và tích \(uv = P\) thì \(u\) và \(v\) là các nghiệm của phương trình

\({x^2} – Sx + P = 0.\)

1.5. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Định nghĩa và tính chất

\(\begin{array}{l}
\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}
A & khi\,\,A \ge 0\\
– A & khi\,\,A < 0
\end{array} \right.\\
\left| A \right| \ge 0,\,\,\forall A\\
\left| {A.B} \right| = \left| A \right|.\left| B \right|\\
{\left| A \right|^2} = {A^2}\\
\left| {A + B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| \Leftrightarrow A.B \ge 0\\
\left| {A + B} \right| = \left| {\left| A \right| – \left| B \right|} \right| \Leftrightarrow A.B \le 0\\
\left| {A – B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| \Leftrightarrow A.B \le 0\\
\left| {A – B} \right| = \left| {\left| A \right| – \left| B \right|} \right| \Leftrightarrow A.B \ge 0
\end{array}\)

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:

Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.

– Bình phương hai vế.

– Đặt ẩn phụ

1.6. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách

– Nâng luỹ thừa hai vế.

– Đặt ẩn phụ.

Dạng 1: \(\sqrt {f(x)}  = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) = {\left[ {g(x)} \right]^2}\\
g(x) \ge 0
\end{array} \right.\)

Dạng 2:  \(\sqrt {f(x)}  = \sqrt {g(x)}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) = g(x)\\
f(x) \ge 0\,\,(hay\,\,g(x) \ge 0)
\end{array} \right.\)

Dạng 3: \(af(x) + b\sqrt {f(x)}  + c = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = \sqrt {f(x)} ,\,\,t \ge 0\\
a{t^2} + bt + c = 0
\end{array} \right.\)

Dạng 4: \(\sqrt {f(x)}  + \sqrt {g(x)}  = h(x)\)

· Đặt \(u = \sqrt {f(x)} ,\,\,v = g(x)\) với \(u,v \ge 0\)

· Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.

Dạng 5: \(\sqrt {f(x)}  + \sqrt {g(x)}  + \sqrt {f(x).g(x)}  = h(x)\)

Đặt \(t = \sqrt {f(x)}  + \sqrt {g(x)} ,\,\,t \ge 0\)

C. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

1.7. Hệ hai hương trình bậc nhất hai ẩn

Xét định thức Kết quả
\(D \ne 0\) Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}} \right)\)
D=0 \(D_x \ne 0\) hoặc \(D_y \ne 0\) Hệ vô nghiệm
\(D_x=D_y\) Hệ có vô số nghiệm

1.8. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài tập minh họa


Ví dụ 1: Giải các phương trình

a) \(\sqrt {2x – 3}  = x – 3\)

b) \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 – x} \)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
a) \sqrt {2x – 3}  = x – 3\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 3 \ge 0\\
2x – 3 = {\left( {x – 3} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
{x^2} – 8x + 12 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x = 6 \vee x = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = 6
\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 6

\(\begin{array}{l}
b)\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 – x} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 – x \ge 0\\
{x^2} + 2x + 4 = 2 – x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
{x^2} + 3x + 2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
x =  – 1 \vee x =  – 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x =  – 1 \vee x =  – 2
\end{array}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = – 1 và x = -2

Ví dụ 2: Giải các phương trình

a) \(1 + \frac{2}{{x – 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} – \frac{{50}}{{(2 – x)(x + 3)}}\)

b) \(\left| {{x^2} – 4x – 5} \right| = 4x – 17\)

Hướng dẫn:

a) Điều kiện \(x \ne 2,x \ne  – 3\)

\(\begin{array}{l}
1 + \frac{2}{{x – 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} – \frac{{50}}{{(2 – x)(x + 3)}}\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{10\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{50}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\
\Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 2\left( {x + 3} \right) = 10\left( {x – 2} \right) + 50\\
\Leftrightarrow {x^2} – 7x – 30 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 10(n)\\
x =  – 3(l)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 10

b)

\(\begin{array}{l}
\left| {{x^2} – 4x – 5} \right| = 4x – 17\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 4x – 5 = 4x – 17,{x^2} – 4x – 5 \ge 0\\
– {x^2} + 4x + 5 = 4x – 17,{x^2} – 4x – 5 < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 8x + 12 = 0,{x^2} – 4x – 5 \ge 0\\
– {x^2} + 22 = 0,{x^2} – 4x – 5 < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 2(l)\\
x = 6(n)
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt {22} (n)\\
x =  – \sqrt {22} (l)
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 6 và \(x = \sqrt {22} \)

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình

\(a) \left\{ \begin{array}{l}
2x + y = 11\\
5x – 4y = 8
\end{array} \right.\)

\(b)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y – z = 1\\
2x – y + 2z = 5\\
x – 2y – 3z = 0
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
2x + y = 11\\
5x – 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8x + 4y = 44\\
5x – 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
13x = 52\\
5x – 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
20 – 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hệ có nghiệm (4;3)

\(\begin{array}{l}
b)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y – z = 1\\
2x – y + 2z = 5\\
x – 2y – 3z = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y =  – 3x + z + 1\\
2x – \left( { – 3x + z + 1} \right) + 2z = 5\\
x – 2\left( { – 3x + z + 1} \right) – 3z = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y =  – 3x + z + 1\\
5x + z = 6\\
7x – 5z = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y =  – 3x + z + 1\\
25x + 5z = 30\\
7x – 5z = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y =  – 3x + z + 1\\
32x = 32\\
7x – 5z = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y =  – 1\\
z = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;-1;1)