Ôn tập chương 3 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Tóm tắt lý thuyết

Kiến thức cần nhớ

1.1. Phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua M0(x0;y0) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta\):
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + t{u_1}\\
y = {y_0} + t{u_2}
\end{array} \right.\)

1.2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua M0(x0;y0) và nhận làm vectơ pháp tuyến thì phương trình tổng quát của \(\Delta\) là:

\(a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0\)

1.3. Góc giữa hai đường thẳng

\({\rm{cos}}\widehat {\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)} = c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

1.4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

\(d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

1.5. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R. Phương trình chính tắc của đường tròn (C) là:

\({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {R^2}\)

1.6. Phương trình chính tắc của đường elip

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Bài tập minh họa


Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác là

AB: x – 3y – 1 = 0, BC: x + 3y + 7 = 0, CA: 5x – 2y + 1 = 0

Hãy viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC

Hướng dẫn:

Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
x – 3y – 1 = 0\\
5x – 2y + 1 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { – \frac{5}{{13}}; – \frac{6}{{13}}} \right)\)

Vì \(AH \bot BC\) nên đường thẳng AH có VTPT là \(\overrightarrow {{u_{BC}}}  = \left( {3; – 1} \right)\)

Do đó phương trình đường cao AH của tam giác ABC là:

\(3\left( {x + \frac{5}{{13}}} \right) – \left( {y + \frac{6}{{13}}} \right) = 0 \Leftrightarrow 39x – 13y + 9 = 0\)

Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A(7; 4) và phương trình hai cạnh: 7x – 3y + 5 = 0, 3x + 7y – 1 = 0.

Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

Hướng dẫn:

Ta kiểm tra thấy đỉnh A(7; 4) không nằm trên các đường thẳng d1: 7x-3y+5=0, d2: 3x+7y-1=0 nên đây là các cạnh CB, CD. Ta có

\(\begin{array}{l}
{S_{ABCD}} = AB.AD = d\left( {A,BC} \right).d\left( {A,CD} \right)\\
= \frac{{\left| {7.7 – 3.4 + 5} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} }}.\frac{{\left| {3.7 – 7.4 – 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2}} }} = \frac{{1008}}{{29}}
\end{array}\)

Ví dụ 3:  Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng Δ: x + y – 3 =0 và đi qua hai điểm A(-1; 3), B(1; 4)

Hướng dẫn: 

Do tâm nằm trên đường thẳng ∆: x +y – 3 = 0 nên tâm I(x; 3 – x). Mà đường tròn đi qua A(-1; 3), B(1;4) nên IA2 = IB2 <=> (x+1)2+(-x)2=(x-1)2+(-1-x)2

\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Rightarrow I\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\)

Bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2} + 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2} – 3} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\)

Vậy phương trình đường tròn là

\({\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – x – 5y + 4 = 0\)

Ví dụ 4: Cho elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

Tìm tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó.

Hướng dẫn:

Ta có a= 25⇒ a = 5, b= 16 ⇒ b = 4

Vậy c= a– b= 25 – 16 = 9 ⇒ c = 3

Các đỉnh: \({A_1}\left( { – 5;0} \right),{A_2}\left( {5;0} \right),{B_1}\left( {0; – 4} \right),{B_2}\left( {0;4} \right)\)

Các tiêu điểm: \({F_1}\left( { – 3;0} \right),{F_2}\left( {3;0} \right)\)