Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

 

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

1.1.1. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai đối với  là biểu thức có dạng \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\) trong đó \(a,b,c\) là những hệ số \(,a \ne 0.\)

Ví dụ 1: Hãy cho biết có bao nhiêu tam thức bậc hai?

\(\begin{array}{l}
a.f(x) = {x^2} – 1\\
b.f(x) = {(x – 1)^2}\\
c.f(x) = (x – 1)(x – 2)\\
d.f(x) = {x^2}({x^2} – 1)
\end{array}\)

Đáp án: 3

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) cũng là nghiệm của tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\Delta  = {b^2} – 4ac\;(\Delta ‘ = b{‘^2} – ac)\) được gọi là biệt thức(biệt thức thu gọn ) của tam thức bậc hai.

1.1.2. Dấu của tam thức bậc hai

Định lí: Cho \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\Delta  = {b^2} – 4ac\)

Nếu \(\Delta  < 0\) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \in R\)

Nếu  \(\Delta  = 0\) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi \(x =  – \frac{b}{{2a}}\)

Nếu \(\Delta  > 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi \(x < {x_1}\) hoặc \(x > {x_2}\) trái dấu với hệ số a khi \({x_1} < x < {x_2}\) trong đó \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của f(x)

Các kết quả trên được thể hiện qua các bảng sau:

+ Với \(\Delta  < 0\)

+ Với \(\Delta  = 0\)

+ Với \(\Delta  > 0\)

 

* Cách xét dấu tam thức bậc hai

+ Tìm nghiệm tam thức (bấm máy)

+ Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a.

+ Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

1.2. Bất phương trình bậc hai một ẩn

1.2.1. Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng \(a{x^2} + bx + c < 0\) (hoặc

\(a{x^2} + bx + c \le 0,a{x^2} + bx + c > 0,a{x^2} + bx + c \ge 0\)), trong đó \(a,b,c\) là những số thực đã cho \(,a \ne 0.\).

Ví dụ 2: \({x^2} – 1 < 0;2{x^2} – 5x + 2 > 0\)

1.2.2. Giải bất phương trình bậc hai

Giải bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c < 0\) thực chất là tìm các khoảng mà trong đó \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) cùng dấu với hệ số a ( trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a ( trường hợp a > 0)

Bài tập minh họa


Ví dụ 1: Xét dấu tam thức \(f(x) =  3{x^2} + 2x – 5.\)

Hướng dẫn:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
3{x^2} + 2x – 5 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  – \frac{5}{3}\\
x = 1
\end{array} \right..
\end{array}\)

Hệ số a = 3 > 0

Bảng xét dấu

Kết luận

\(\begin{array}{l}
f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \frac{5}{3};1} \right)\\
f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – \frac{5}{3}} \right) \cup (1; + \infty ).
\end{array}\)

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} – 1}}\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  – 1(a = 1 > 0)\\
{x^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  – 1\\
x = 1
\end{array} \right.(a = 1 > 0)
\end{array}\)

Bảng xét dấu

Kết luận

\(\begin{array}{l}
f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\\
f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – 1;1} \right)
\end{array}\)

Ví dụ 3: Giải bất phương trình \( – 3{x^2} + 7x – 4 < 0\)

Hướng dẫn:

Ta đặt \(f(x) =  – 3{x^2} + 7x – 4\)

\({ – 3{x^2} + 7x – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = \frac{4}{3}}
\end{array}} \right.}\)

Hệ số a = -3 < 0

Bảng xét dấu

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(T = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right).\)