Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là \(ax + by \le c\) \((ax + by < c;ax + by \ge c;ax + by > c)\) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Ví dụ: Bất phương trình 3x + 2y < 1; x +3y > -2;…

1.2. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình \(ax + by \le c{\rm{ }}\) được gọi là miền nghiệm của nó.

Quy tắc thực hành biểu diễn hình học miền nghiệm ( hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình \(ax + by \le c{\rm{ }}\) ( tương tự cho bất phương  \(ax + by \ge c\))

Bước 1: Trên mặt phẳng xy, vẽ đường thẳng \(\Delta :ax + by = c\)

Bước 2: Lấy một điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc \(\Delta \) ( ta thường lấy gốc tọa độ O)

Bước 3: Tính \(ax_0 + by_0\) và so sánh \(ax_0 + by_0\) với c

Bước 4: Kết luận

Nếu \(ax_0 + by_0 < c\) thì nửa mặt phẳng bờ \(\Delta \) chứa \({M_0}\) là miền nghiệm của \(ax + by \le c{\rm{ }}\)

Nếu \(ax_0 + by_0 > c\) thì nửa mặt phẳng bờ \(\Delta \) không chứa \({M_0}\) là miền nghiệm của \(ax + by \le c{\rm{ }}\)

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c{\rm{ }}\) bỏ đi đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by < c\)

1.3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

1.4. Áp dụng vào bài toán kinh tế

Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.

Bài tập minh họa


Ví dụ 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

\(- 3x + 2y > 5\)

Hướng dẫn:

Vẽ đường thẳng \(\Delta : – 3x + 2y = 5\)

Lấy gốc tọa độ O(0;0), ta thấy \(O \notin \Delta \) và có \( – 3.0 + 2.0 = 0 < 5\) nên nửa mặt phẳng không kể cả bờ \(\Delta \) không chứa O là miền nghiệm của bất phương trình \(- 3x + 2y > 5\)

Ví dụ 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x – y \le 3\\
2x + 5y \le 12x + 8
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

\(\left\{ \begin{array}{l}
2x – y \le 3\\
2x + 5y \le 12x + 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x – y \le 3\\
– 10x + 5y \le 8
\end{array} \right.\)

Vẽ các đường thẳng

\(\begin{array}{l}
{d_1}:2x – y = 3\\
{d_2}: – 10x + 5y = 8
\end{array}\)

Vì điểm M(1;1) có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mật phẳng bờ \((d_1), (d_2)\) không chứa điểm M. Miền không bị tô đậm là miền nghiệm của hệ đã cho