Bài 3: Tích của vectơ với một số

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa của một vectơ và một số

Xem hình vẽ minh họa và ta có các nhận xét sau:

Xét hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) ta nhận thấy rằng:

Chúng có giá song song với nhau và cùng hướng, độ lớn về chiều dài của \(\vec{b}\) gấp 2 lần độ lớn chiều dài của \(\vec{a}\)

Lúc đó, ta viết rằng: \(\vec{b}=2\vec{a}\)

Xét đến hai vectơ \(\vec{c}\) và \(\vec{d}\) ta có nhận xét:

Chúng có giá song song và ngược hướng, độ lớn về chiều dài của \(\vec{d}\) gấp 3 lần độ lớn chiều dài của \(\vec{c}\)

Lúc đó, ta viết rằng: \(\vec{d}=-3\vec{c}\)

Định nghĩa:

Tích của vectơ \(\vec{a}\) với số thực k là một vectơ, kí hiệu là \(k\vec{a}\), được xác định như sau:

  • Nếu \(k\geq 0\) thì vectơ \(k\vec{a}\) cùng hướng với vectơ \(\vec{a}\).
  • Nếu \(k<0\) thì vectơ \(k\vec{a}\) ngược hướng với vectơ \(\vec{a}\).
  • Độ dài của vectơ \(k\vec{a}\) bằng \(|k|.|\vec{a}|\).

1.2. Các tính chất của phép nhân vectơ với số

1.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Chúng ta cùng xem qua hình ảnh sau:

Một cách tổng quá, ta có:

Vectơ \(\vec{b}\) cùng phương với vectơ \(\vec{a}\neq \vec{0}\) khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho \(\vec{b}=k\vec{a}\)

Ứng dụng vào ba điểm thẳng hàng:

Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho \(\vec{AB}=k\vec{AC}\)

1.4. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương

Dựa vào hình trên, ta có định lí sau:

Cho hai vectơ không cùng phương \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\). Khi đó mọi vectơ \(\vec{x}\) đều có thể hiển thị một cách duy nhất qua hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), nghĩa là có cặp số duy nhất m và n sao cho:

\(\vec{x}=m\vec{a}+n\vec{b}\)

Bài tập minh họa


Bài 1:

Cho tam giác OAB vuông cân với \(OA=OB=a\). Tính độ dài của các vectơ \(\vec{OA}+\vec{OB}\); \(3\vec{OA}+4\vec{OB}\)

Hướng dẫn:

Do tam giác OAB vuông cân tại O có cạnh là a. Dễ dàng tính được \(\vec{OA}+\vec{OB}\) theo quy tắc hình bình hành, \(\vec{OA}+\vec{OB}=\vec{OD}\)

Độ lớn của \(|\vec{OD}|\)=\(a\sqrt{2}\)

Tương tự, ta tính \(3\vec{OA}+4\vec{OB}\)

Nhận thấy rằng \(3|\vec{OA}|=3a;4|\vec{OB}|=4a\)

Theo quy tắc hình bình hành và theo hình vẽ, ta có \(3\vec{OA}+4\vec{OB}=\vec{OC}\)

Độ lớn của \(|\vec{OC}|=5a\) theo định lý Pytago.

Bài 2:

Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có hệ thức: \(\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{CB}-\vec{CD}\)

Hướng dẫn:

Đề yêu cầu cần chứng minh \(\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{CB}-\vec{CD}\)

Ta viết lại: \(\Leftrightarrow \vec{AB}+\vec{DA}=\vec{CB}+\vec{DC}=\vec{DB}\Rightarrow dpcm\)

Bài 3:

Cho hình chữ nhật có \(AB=5cm\), \(BC=10cm\). Tính \(|\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}|\).

Hướng dẫn:

Như hình trên, chúng ta có thể viết lại như sau:

\(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}=\vec{DC}+\vec{AC}+\vec{AD}=\vec{AC}+\vec{AC}=2\vec{AC}\)

Vậy \(|\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}|=2|\vec{AC}|\)

Bằng Pytago, ta dễ dàng tính toán được \(2|\vec{AC}|=10\sqrt{5}(cm)\)

Bài 4:

Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc đoạn BC sao cho \(MB=2MC\). Chứng minh rằng: \(\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AC}\)

Hướng dẫn:

Theo giả thiết, \(MB=2MC\).

Trên AB lấy điểm D sao cho \(AD=\frac{1}{3}AB\), trên AC lấy điểm E sao cho \(CE=\frac{1}{3}AC\)

Vậy, theo đề được viết lại như sau: \(\frac{1}{3}\vec{AB}=\vec{AD};\frac{2}{3}\vec{AC}=\vec{AE}\)

Cần chứng minh ADME là hình bình hành.

Thật vậy, với tỷ lệ đề cho, ta tìm được các cặp cạnh đối song song nhờ định lí Thales đảo.

Vậy: \(\left\{\begin{matrix} AD//ME\\ AE//DM \end{matrix}\right.\) hay ADME là hình bình hành

Nên \(\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AC}\).