Bài 3: Số trung bình cộng, số trung vị, mốt

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Số trung bình cộng (hay số trung bình)

Trường hợp bảng phân bố tần số 

Số trung bình cộng là:

\(\bar x = \frac{1}{n}({n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + … + {n_k}{x_k}) = {f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + … + {f_k}{x_k}\)

trong đó: ni, fi lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi, n = n1 + n2 + … + nk.

* Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

Số trung bình cộng là:

\(\bar x = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + … + {n_k}{c_k}) = {f_1}{c_1} + {f_2}{c_2} + … + {f_k}{c_k}\)

với ci, ni, fi lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê (n = n1 + n2 + … + nk).

1.2. Số trung vị

Khái niệm: Khi các số liệu thống kê có sự chênh lệch lớn thì số trung bình cộng không đại diện được cho các số liệu đó. Khi đó ta chọn số đặc trưng khác đại diện thích hợp hơn, đó là số trung vị

Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm ( hoặc không tăng). Số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu Me là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử là chẵn.

* Lưu ý cách tìm số trung vị:

+ Phải sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm ( hoặc không tăng).

+ Nếu n lẻ  thì Me là số đứng chính giữa dãy ( số hạng thứ \(\frac{{n + 1}}{2}\)).

+ Nếu n chẵn thì Me là  trung bình cộng  của 2 số đứng giữa dãy (số hạng thứ \(\frac{n}{2}\) và số hạng thứ \(\frac{n}{2} + 1\)).

1.3. Mốt

Định nghĩa: Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là Mo.

Nhận xét: Một mẫu số liệu có thể có một hay nhiều mốt.

Bài tập minh họa


Ví dụ 1:  Điểm trung bình các môn học của học sinh được cho trong bảng sau:

Điểm

7,5

7,8

8,0

8,4

9,0

9,5

Tần số

1

2

3

2

2

1

n = 11

Tần suất

(%)

9,09

18,18

27,27

18,18

18,18

9,09

100

(%)

Hãy tính điểm trung bình của học sinh? (không được áp dụng công

thức \(\bar x = \frac{1}{n}({n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + … + {n_k}{x_k})\)

Hướng dẫn:

Điểm trung bình của học sinh là:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\bar x = {f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + {f_3}{x_3} + {f_4}{x_4} + {f_5}{x_5} + {f_6}{x_6}}\\
{ = \frac{{9,09}}{{100}}.7,5 + \frac{{18,18}}{{100}}.7,8 + \frac{{27,27}}{{100}}.8,0 + \frac{{18,18}}{{100}}.8,4 + \frac{{18,18}}{{100}}.9,0 + \frac{{9,09}}{{100}}.9,5}\\
{ \approx 8,3}
\end{array}\)

Ví dụ 2: Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau

Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm)

Lớp nhiệt độ (0C) Tần số Tần suẩt

[12;14)

[14;16)

[16;18)

[18;20)

[20;22)

1

3

12

9

5

3,33

10,00

40,00

30,00

16,67

Cộng 30

100 (%)

Tính số trung bình cộng của bảng trên

Hướng dẫn:

Tính các giá trị đại diện ci với ci là trung bình cộng của hai mút của lớp i:

c1=13; c2=15; c3=17; c4=19; c5=21

Số trung bình cộng là:

Cách 1: Sử dụng bảng phân bố tần số ghép lớp

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\bar x = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + … + {n_k}{c_k})}\\
{ = \frac{1}{{30}}\left( {1.13 + 3.15 + 12.17 + 9.19 + 5.21} \right)}\\
{ \approx 17,93}
\end{array}\)

Cách 2: Sử dụng bảng phân bố tần suất ghép lớp

\(\begin{array}{l}
\overline x  = {f_1}{c_1} + {f_2}{c_2} + {f_3}{c_3} + {f_4}{c_4}\\
= \frac{{3,33}}{{100}}.13 + \frac{{10,00}}{{100}}.15 + \frac{{40,00}}{{100}}.17 + \frac{{30,00}}{{100}}.19 + \frac{{16,67}}{{100}}.21\\
\approx 17,94
\end{array}\)

Ví dụ 3: 

a) Một nhóm 7 học sinh tham gia một kì thi có số điểm như sau (thang điểm 100): 0, 0, 65, 69, 80, 89, 90. Tìm số trung vị?

b) Điểm thi học kì I môn toán của 6 HS là: 5, 3, 9, 7, 2,  9. Tìm số trung vị?

Hướng dẫn:

a) Vì n = 7 lẻ nên ta có Me = 69

b) Vì n = 6 chẵn nên ta có \({M_e} = \frac{{9 + 7}}{2} = 8\)

Ví dụ 4: Tìm mốt trong ví dụ 1

Hướng dẫn:

Trong bảng ở ví dụ 1 thì giá trị có tần số lớn nhất là 8,0, do đó ta có

MO=8,0