Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất

1.1.1. Nhị thức bậc nhất

Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng ax + b, trong đó a và b là hai số cho trước, với a ≠ 0 và a được gọi là hệ số của x hay hệ số của nhị thức.

Ví dụ 1: \(f(x) = 2x – 3;{\rm{ }}g(x) = 1 – 5x\)

Ta đã biết, phương trình ax + b = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm duy nhất \({x_0} =  – \frac{b}{a}\). Nghiệm đó cũng được gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b. Nó có vai trò rất quan trọng trong việc xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x).

1.1.2. Dấu của nhị thức bậc nhất

Định lý: Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng \(\left( { – \frac{b}{a}; + \infty } \right)\) và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng \(\left( { – \infty ; – \frac{b}{a}} \right)\)

Kết quả của định lí trên được tóm tắt trong bảng sau:

Ta gọi bảng này là bảng xét dấu nhị thức f(x) = ax + b.

1.2. Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất

Giả sử f(x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lý vè dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bằng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra được dấu của f(x). Trường hợp f(x) là một thương cũng được xét tương tự.

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{{\left( {4x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{ – 3x + 5}}\)

Hướng dẫn:

Giải các phương trình

\(\begin{array}{l}
4x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\\
x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  – 2\\
– 3x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}
\end{array}\)

f(x) không xác định khi \(x = \frac{5}{3}\)

Lập bảng xét dấu chung

Vậy f(x) > 0 khi \(x \in \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {\frac{1}{4};\frac{5}{3}} \right)\)

f(x) < 0 khi \(x \in \left( { – 2;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\)

f(x) = 0 khi x = -2 hoặc \(x = \frac{1}{4}\)

1.3. Áp dụng vào giải bất phương trình

Giải bất phương trình f(x) > 0 thực chất là xét xem biểu thức f(x) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết f(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f(x).

1.3.1. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ 3: Giải bất phương trình \(\frac{1}{{1 – x}} \ge 1\)

Hướng dẫn:

Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho

\(\frac{1}{{1 – x}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{1 – x}} – 1 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{1 – x}} \ge 0\)

Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{x}{{1 – x}}\) ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {0;1} \right)\)

1.3.2. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Một trong những cách giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là sử dụng định nghĩa để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta thường phải xét bất phương trình trong nhiều khoảng ( nửa khoảng, đoạn) khác nhau, trên đó các biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối đều có dấu xác định.

Ví dụ 4: Giải bất phương trình |-2x+1|+x-3 < 5

Hướng dẫn:

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:

\(\left| { – 2x + 1} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 2x + 1,x \ge \frac{1}{2}}\\
{ – \left( { – 2x + 1} \right),x < \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\)

Giải các hệ bất phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{1}{2}\\
\left( { – 2x + 1} \right) + x – 3 < 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{1}{2}\\
x >  – 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow  – 7 < x \le \frac{1}{2}\\
\left\{ \begin{array}{l}
x > \frac{1}{2}\\
\left( {2x – 1} \right) + x – 3 < 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > \frac{1}{2}\\
x < 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 3
\end{array}\)

Nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng:

\(\left( { – 7;\frac{1}{2}} \right] \cup \left( {\frac{1}{2};3} \right) = \left( { – 7;3} \right)\)

Kết luận: Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng \(\left| {f(x)} \right| \le a\) và \(f(x) \ge a\) với a > 0 đã cho.

Ta có:

\(\left| {f(x)} \right| \le a \Leftrightarrow  – a \le f(x) \le a\)

\(f(x) \ge a \Leftrightarrow f(x) \le a \vee f(x) \ge a\)

Bài tập minh họa


Ví dụ 1: Xét dấu các nhị thức  \(f(x) = 2x – 3;{\rm{ }}g(x) = 1 – 5x\)

Hướng dẫn:

  • \(f(x) = 2x – 3\)

Hệ số a = 2 > 0 và có nghiệm là \({x_0} = \frac{3}{2}\)

Bảng xét dấu

Vậy f(x) > 0 khi \({x} > \frac{3}{2}\); f(x) < 0 khi \({x} < \frac{3}{2}\)

  • \(g(x) = 1 – 5x\)

Hệ số a = -5 < 0 và có nghiệm \({x_0} = \frac{1}{5}\)

Bảng xét dấu

Vậy g(x) > 0 khi \({x} < \frac{1}{5}\); g(x) < 0 khi \({x} > \frac{1}{5}\); g(x) = 0 khi  \({x} = \frac{1}{5}\)

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \left( {2x – 1} \right)\left( { – x + 3} \right)\)

Hướng dẫn: 

Giải các phương trình

\(\begin{array}{l}
\left( {2x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\\
\left( { – x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\)

Lập bảng xét dấu chung

Vậy f(x) > 0 khi \(x \in \left( {\frac{1}{2};3} \right)\)

f(x) < 0 khi \(x \in \left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

f(x) = 0 khi x = 1/2 hoặc x = 3

Ví dụ 3: Giải bất phương trình x– 4x < 0

Hướng dẫn: 

\({x^3} – 4x < 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – 4} \right) < 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right) < 0\)

Xét dấu biểu thức \(f(x) = x\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)\)

Bảng xét dấu

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { – 2;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Ví dụ 4: Giải bất phương trình \(\frac{4}{{x – 1}} > \frac{7}{{2x + 1}}\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
\frac{4}{{x – 1}} > \frac{7}{{2x + 1}} \Leftrightarrow \frac{4}{{x – 1}} – \frac{7}{{2x + 1}} > 0\\
\Leftrightarrow \frac{{4\left( {2x + 1} \right) – 7\left( {x – 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 11}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} > 0
\end{array}\) (*)

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu trên ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình (*) là:

\(S = \left( { – 11; – \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Ví dụ 5: Giải bất phương trình \(\left| {3x + 2} \right| \le x + 1\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
\left| {3x + 2} \right| \le x + 1\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– \left( {x + 1} \right) \le 3x + 2\\
x + 1 \ge 3x + 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x \ge  – 4\\
2x \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  – 1\\
x \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow  – 1 \le x \le 0
\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ { – 1;0} \right]\)