Bài 2: Hàm số y = ax + b

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Nhắc lại về hàm số bậc nhất

  • Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng \(y = {\rm{ax + b}}\) với a, b là những hằng số và \({\rm{a}} \ne {\rm{0}}\).
  • Hàm số bậc nhất có tập xác định là R.
  • Khi \({\rm{a > 0}}\) hàm số bậc nhất \(y = {\rm{ax + b}}\) đồng biến trên R.
  • Khi \({\rm{a < 0}}\) hàm số bậc nhất \(y = {\rm{ax + b}}\) nghịch biến trên R.
  • Đồ thị hàm số \(y = {\rm{ax + b}}\) (\({\rm{a}} \ne {\rm{0}}\)) là một đường thẳng gọi là đường thẳng \(y = {\rm{ax + b}}\). Nó có hệ số góc là a và có các đặc điểm sau:
    • Không song song và không trùng với các trục tọa độ;
    • Cắt trục tung tại điểm B(0;b) và cắt trục hoành tại điểm \(A(\frac{{ – b}}{a};0)\)
  • Cho hai đường thẳng \(y = a{\rm{x}} + b\) và hàm số \(y= a’x + b’\)
  • Khi a=a’ và \(b \ne b’\) thì d và d’ song song với nhau.
  • Khi a=a’ và b=b’ thì d và d’ trùng nhsu.
  • Khi \(a \ne a’\) thì d và d’ cắt nhau.

1.2. Hàm số y = |ax + b|

a) Hàm số bậc nhất trên từng khoảng

  • Hàm số bậc nhất trên từng khoảng là sự ” lắp ghép” của nhiều hàm số bậc nhất khác nhau.

Ví dụ:

Vẽ đồ thị của hàm số  \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ – 2}}{3}x + 5\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,0 \le x \le 3}\\ {x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,3 \le x \le 6}\\ { – 2x + 18\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,6 \le x \le 8} \end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

Để vẽ đồ thị hàm số này, ta vẽ đồ thị của từng hàm số tạo thành chẳng hạn:

AB là phần đồ thị của \(y = \frac{{ – 2}}{3}x + 5\) ứng với \({0 \le x \le 3}\) .

BC là phần đồ thị của \(y = x\) ứng với \({3 \le x \le 6}\) .

CD là phần đồ thị của \(y = – 2x + 18\) ứng với \({6 \le x \le 8}\) .

Ghép các phần trên lại ta được đồ thị của hàm số đã cho như hình vẽ:

b) Hàm số dạng \(y = \left| {ax + b} \right|\)

Hàm số dạng \(y = \left| {ax + b} \right|\) thực chất cũng là một dạng hàm số bậc thất trên từng khoảng.

Chẳng hạn như khi xét hàm số \(y = \left| {3x – 9} \right|\) thì theo định nghĩa trị tuyệt đối thì ta có:

  • Nếu \(3x – 9 \ge 0\) tức là \(x \ge 3\) ,thì \(\left| {3x – 9} \right| = 3x – 9\)
  • Nếu \(3x – 9 < 0\) tức là \(x < 3\) ,thì \(\left| {3x – 9} \right| = 9 – 3x\)

Do đó hàm số \(y = \left| {3x – 9} \right|\) có thể viết là \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x – 9\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 3}\\ {9 – 3x\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 3} \end{array}} \right.\)

Chú ý:

Một cách khá đơn giản để vẽ đồ thị của hàm số \(y = \left| {ax + b} \right|\) là ta có thể vẽ  các đường thẳng ax+b và -ax-b rồi xóa đi phần nằm dưới trục hoành.

Bài tập minh họa


Bài 1:

Tính a và b để đồ thị hàm số y=ax+b đi qua 2 điểm A(0;2) và B(1;3).

Hướng dẫn:

Thay tọa độ điểm A(0;2) vào hàm số y=ax+b ta được:

2 = a.0 + b ⇒ b = 2

Thay tọa độ điểm B(1;3) vào hàm số y=ax+b với b=2 ta được:

3 = a.1 + 2 ⇒ a = 1

vậy ta được a=1 và b=2

Bài 2:

Tính a và b để đồ thị hàm số y=ax+b đi qua điểm M(-1;3) và song song với đường thẳng y=-2x+5.

Hướng dẫn:

Vì đồ thị hàm số y=ax+b song song với đường thẳng y=-2x+5 ⇒ a=-2

Thay tọa độ điểm M(-1;3) vào hàm số y=ax+b với a=-2 ta được:

3 = (-1)(-2)+b ⇒ b=1

Vậy ta được a=-2 và b=1.