Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Giá trị lượng giác của cung \(\alpha \)

1.1.1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác, cho điểm \(M\left( {{x_o},{y_o}} \right)\) sao cho cung lượng giác AM có sđ\(AM = \alpha \). Khi đó:

\(\begin{array}{l}
\sin \alpha  = \overline {OK}  = {y_0}\\
\cos \alpha  = \overline {OH}  = {x_0}\\
\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}{\rm{ }}\left( {\cos \alpha  \ne 0} \right)\\
\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}{\rm{ }}\left( {\sin \alpha  \ne 0} \right)
\end{array}\)

Định nghĩa: Các giá trị \(\sin \alpha ,\cos \alpha {\rm{, tan}}\alpha {\rm{, cot}}\alpha \) được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.

Chú ý:

1. Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.

2. Nếu \({0^ \circ } \le \alpha  \le {180^ \circ }\) thì các giá trị lượng giác của góc \[\alpha \] chính là các giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ 1: Tính \(\sin \frac{{25\pi }}{4}\), \(cos\left( { – {{240}^o}} \right)\)

 Hướng dẫn:

Để tính giá trị lượng giác của cung lượng giác AM có số đo \(\alpha \) bất kì, ta thực hiện theo các bước:

+ Biểu diễn cung lượng giác AM trên đường tròn lượng giác.

+ Tìm tọa độ điểm M, từ đó áp dụng định nghĩa suy ra các giá trị lượng giác cần tìm.

Ta có \(\frac{{25\pi }}{4} = \frac{\pi }{4} + 3.2\pi \)

Suy ra \(\sin \frac{{25\pi }}{4} = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Tương tự \( – {240^0} = {120^0} – {360^0}\)

Suy ra \(cos\left( { – {{240}^o}} \right) = cos{120^ \circ } =  – \frac{1}{2}\)

1.1.2. Hệ quả

1) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) xác định với mọi \(\alpha  \in R\).

\(\begin{array}{l}
\sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha ,\forall k \in Z\\
\cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \cos \alpha ,\forall k \in Z
\end{array}\)

2) \( – 1 \le \sin \alpha  \le 1, – 1 \le \cos \alpha  \le 1\)

3) Với mọi \(m \in R\) mà \( – 1 \le m \le 1\) đều tồn tại \(\alpha \) và \(\beta \) sao cho \(\sin \alpha  = m\) và \(\cos \alpha  = m\).

4) \(\tan \alpha \) xác định với mọi \(\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{  }}\left( {k \in Z} \right)\)

5) \(\cot \alpha \) xác định với mọi \(\alpha  \ne k\pi {\rm{  }}\left( {k \in Z} \right)\)

6) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

1.1.3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

1.2. Ý nghĩa hình học của tang và côtang

Ý nghĩa hình học của \(\tan \alpha \) và \(\cot \alpha\)

\(\tan \alpha  = \overline {AT} \)

Trục  t’At được gọi là trục tang.

\(\cot \alpha  = \overline {BS} \)

Trục  s’Bs được gọi là trục côtang.

Chú ý: 

\(\begin{array}{l}
\tan \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \tan \alpha \\
\cot \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \cot \alpha
\end{array}\)

1.3. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

1.3.1. Công thức lượng giác cơ bản

\(\begin{array}{l}
si{n^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1\\
1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }},\alpha  \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\\
1 + co{t^2}\alpha  = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }},\alpha  \ne k\pi ,k \in Z\\
\tan \alpha .\cot \alpha  = 1,\alpha  \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z
\end{array}\)

1.3.2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
1) Cung đối nhau: \(\alpha \) và \( – \alpha \)

Các điểm cuối của hai cung AM và AM’ đối xứng nhau qua trục hoành nên ta có:

\(\begin{array}{l}
\cos ( – \alpha ) = \,\cos \alpha \\
\sin ( – \alpha ) = \,\, – \sin \alpha \\
\tan ( – \alpha ) =  – \tan \alpha \\
\cot ( – \alpha ) =  – \cot \alpha
\end{array}\)

2) Cung bù nhau: \(\alpha \) và \(\pi  – \alpha \)

Các điểm cuối của hai cung AM và AM’ đối xứng với nhau qua trục tung, nên ta có:

 

\(\begin{array}{l}
\sin (\pi  – \alpha ) = \,\,\,\,\,\,\sin \alpha \\
\cos (\pi  – \alpha ) =  – \cos \alpha \\
\tan (\pi  – \alpha ) =  – \tan \alpha \\
\cot (\pi  – \alpha ) =  – \cot \alpha
\end{array}\)

 

3) Hơn kém nhau \(\pi \): \(\pi \) và \(\left( {\alpha  + \pi } \right)\)

Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua gốc tọa độ, nên ta có:

 

\(\begin{array}{l}
\sin (\alpha  + \pi ) =  – \sin \alpha \\
\cos (\alpha  + \pi ) =  – \cos \alpha \\
\tan (\alpha  + \pi ) = \,\,\,\,\,\tan \alpha \\
\cot (\alpha  + \pi ) = \,\,\,\,\,\cot \alpha
\end{array}\)

4) Cung phụ nhau: \(\alpha \) và \(\alpha  – \frac{\pi }{2}\)

Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua đường phân giác d của góc xOy, nên ta có:

 

\(\begin{array}{l}
\sin \,\left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \cos \alpha \\
\cos \,\left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \sin \alpha \\
\tan \,\left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \cot \alpha \\
\cot \,\left( {\frac{\pi }{2} – \alpha } \right) = \tan \alpha
\end{array}\)

 

Chú ý: Để ghi nhớ các công thức trên dễ dàng ta học thuộc câu: “cos-đối, sin-bù, phụ-chéo, hơn kém nhau- tan và cot”.

Bài tập minh họa


Ví dụ 1: Cho \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) với \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\).  Tính \(\cos \alpha \)

Hướng dẫn:

Ta có \(si{n^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 – {\sin ^2}\alpha \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 – {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\\
\Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{1}{2}
\end{array}\)

Vì \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha >0\) \( \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{1}{2}\)

Ví dụ 2: Cho \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt {11} }}{6}\) với \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha  < 2\pi \). Tính \(\sin \alpha \)

Hướng dẫn:

Ta có \(si{n^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 – {\cos ^2}\alpha \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 – {\left( {\frac{{\sqrt {11} }}{6}} \right)^2} = \frac{{25}}{{36}}\\
\Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{5}{6}
\end{array}\)

Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < x < 2\pi \) nên \(\sin \alpha  < 0\) \( \Rightarrow \sin \alpha  =  – \frac{5}{6}\)

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau

\(A = \cos ({90^0} – x).\sin ({180^0} – x) – \sin ({90^0} – x).\cos ({180^0} – x)\)

Hướng dẫn: 

Sử dụng công thức cung phụ nhau và cung bù nhau

Ta có \(A = \cos ({90^0} – x).\sin ({180^0} – x) – \sin ({90^0} – x).\cos ({180^0} – x)\)

\(\begin{array}{l}
= \sin x.\sin x – \cos x.( – \cos x)\\
= {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1
\end{array}\)

Ví dụ 4: Tính

\(\begin{array}{l}
a)\cos \left( { – \frac{{11\pi }}{4}} \right)\\
b)\tan \frac{{31\pi }}{6}\\
c)\sin ( – {1380^0})
\end{array}\)

Hướng dẫn:

– Sử dụng cung đối

– Biến đổi về góc nhỏ (dựa vào chu kỳ của \(\cos \alpha \) là \(\,2\pi \))

– Sử dụng cung bù

\(\begin{array}{l}
a)\cos \left( { – \frac{{11\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{{11\pi }}{4} = \cos \left( {2\pi  + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4}\\
= \cos \left( {\pi  – \frac{\pi }{4}} \right) =  – \cos \frac{\pi }{4} =  – \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
b)\tan \frac{{31\pi }}{6} = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}\left( {4\pi  + \frac{{7\pi }}{6}} \right) = \tan \frac{{7\pi }}{6}\\
= \tan \left( {\pi  + \frac{\pi }{6}} \right) = \tan \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
c)\,\,\,\,\sin ( – {1380^0}) =  – \sin ({1380^0}) =  – \sin ({4.360^0} – {60^0})\\
=  – \sin ( – {60^0}) = \,\,\,\,\,\sin {60^0} = \frac{1}{2}
\end{array}\)