Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 độ đến 180 độ

Tóm tắt lý thuyết

Trước khi đi vào định nghĩa, ta xét hình sau:

nuaduongtrondonvi

Hình trên mô phỏng một nửa đường tròn có bán kín bằng 1. Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị.

Điểm M thuộc nửa đường tròn ấy, vậy góc cho trước có độ lớn từ 0 độ đến 180 độ.

1.1. Định nghĩa

Với mỗi góc \(\alpha(0^o\leq \alpha\leq 180^o)\), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn sao cho \(\widehat{MOx}=\alpha\). Giả sử điểm M(x;y). Khi đó:

Tung độ y của điểm M được gọi là sin của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(sin\alpha\)

Hoành độ x của điểm M được gọi là cosin của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(cos\alpha\).

Tỉ số  \(\frac{y}{x}\) \((x\neq 0)\) được gọi là tan của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(tan\alpha\)

Tỉ số  \(\frac{x}{y}\) \((y\neq 0)\) được gọi là côtan của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(cot\alpha\)

Tính chất quan trọng:

Nếu hai góc bù nhau thì sin của chúng bằng nhau, còn cos, tan và cot của chúng đối nhau, cụ thể là:

  • \(sin(180^o-\alpha)=sin\alpha\)
  • \(cos(180^o-\alpha)=-cos\alpha\)
  • \(tan(180^o-\alpha)=-tan\alpha(\alpha\neq 90^o)\)
  • \(cot(180^o-\alpha)=-cot\alpha(0^o<\alpha<180^o)\)

1.2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

banggocdacbiet

Bài tập minh họa


Bài 1:

Tính giá trị của biểu thức sau (không dùng máy tính):

\((sin45^o+cos90^o-tan60^o)(cos60^o+sin45^o)\)

Hướng dẫn:

\((sin45^o+cos90^o-tan60^o)(cos60^o+sin45^o)\)

\(=(\frac{\sqrt{2}}{2}+0-\sqrt{3})(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})\)

\(=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}.\frac{1+\sqrt{2}}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2-2\sqrt{6}}{4}\)

 

Bài 2:

Thực hiện phép tính:

\(sin107^o+sin73^o+cos20^o+cos160^o\)

Hướng dẫn:

\(sin107^o+sin73^o+cos20^o+cos160^o\)

Vì \(sin107^o=sin73^o\)

và \(cos20^o=-cos160^o\)

nên: \(sin107^o+sin73^o+cos20^o+cos160^o\)

\(=sin107^o+sin107^o+cos20^o-cos20^o\)

\(=2sin107^o\)

Bài 3:

Chứng minh hệ thức \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)

Hướng dẫn: Ta xem lại hình vẽ đã mô phỏng ở phần lí thuyết:

nuaduongtrondonvi

Nhận thấy rằng, trong tam giác vuông có chứa góc \(\alpha\) và nửa đường tròn bán kính bằng 1.

Áp dụng định lý Pytago, ta có được là \(sin^2\alpha+cos^2\alpha\) chính là tổng bình phương của hai cạnh góc vuông nên có độ lớn bằng cạnh huyền bình phương.

Mà cạnh huyền chính là bán kính của nửa đường tròn, vậy \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1^2=1\) và ta có dpcm.

 

Bài 2:

Chứng minh hệ thức \(1+tan^2x=\frac{1}{cos^2x}\) với góc x khác 90 độ.

Hướng dẫn:

Xét tam giác vuông có cạnh huyền bằng 1, góc x là một góc nhọn, ta có:

\(tanx=\frac{AB}{AC}\Rightarrow tan^2x=\frac{AB^2}{AC^2}\)

\(\Rightarrow tan^2x+1=\frac{AB^2+AC^2}{AC^2}=\frac{BC^2}{AC^2}=1:\left ( \frac{AC}{BC} \right )^2=\frac{1}{cos^2x}\)

Các trường hợp góc x tù, ta vẽ đường cao và chứng minh tương tự.