Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm thế nào là Hàm số đồng biến, nghịch biến, điều kiện để hàm số đơn điệu trên một miền. Cùng với những ví dụ minh họa các dạng toán liên quan đến Tính đơn điệu của hàm số sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.

  • Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến (tăng) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).
  • Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\).

2.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

  • Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).
  • Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).

2.3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

  • Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.
  • Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.
  • Nếu \(f'(x)=0\) với mọi \(x\in K\) thì \(f(x)\) là hàm hằng trên K.

2.4. Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

  • Bước 1: Tìm tập xác định
  • Bước 2: Tính đạo hàm \(f'(x)=0\). Tìm các điểm \(x_i\) (i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
  • Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
  • Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

3.1. Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1:

Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 7\)

b) \(y=x^4-2x^2-1\)

c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

Lời giải:

a) \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 7\)

  • Xét hàm số: \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 7\)
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’=3x^2-6x+3\)
    • \(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
  • Bảng biến thiên:

  • Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

b) \(y=x^4-2x^2-1\)

  • Xét hàm số \(y=x^4-2x^2-1\)
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’=4x^3-4x\)
    • \(y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right.\)
  • Bảng biến thiên:

  • Kết luận:
    • Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
    • Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( {- \infty;-1 } \right)\) và \((0;1).\)

c) \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

  • Xét hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
    • TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
    • \(y’ = \frac{{ – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}} > 0,\forall \ne 1\)
  • Bảng biến thiên:

  • Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( { 1;+ \infty } \right)\).

3.2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên một miền

Ví dụ 2:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải:

  • Xét hàm số \(y=x^3+3x^2+mx+m\)
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’ = 3{x^2} + 6x + m\)
  • Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y’ \ge 0,\forall x \in\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ \le 0\\ a = 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 9 – 3m < 0 \Leftrightarrow m \ge 3\).
  • Kết luận: với \(m\geq 3\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Ví dụ 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = 2x^3 – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\) đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\).

Lời giải:

  • Xét hàm số \(y = 2x^3 – 3(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1\).
    • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
    • \(y’ = 6{x^2} – 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)\)
    • \(\Delta = {(2m + 1)^2} – 4({m^2} + m) = 1 > 0\)
    • \(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m\\ x = m + 1 \end{array} \right.\)
  • Do \(m

  • Hàm số đồng biến trong các khoảng \(( – \infty ;m),\,\,(m + 1; + \infty )\).
  • Kết luận: Do đó hàm số đồng biến trong khoảng \((2; + \infty )\) khi \(m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1.\)